行列ランク電卓

行列ランク電卓へようこそ。このツールは、ガウス消去法を使用してあらゆる行列のランクを決定する包括的な線形代数ツールです。行列のランクとは、線形独立な行または列ベクトルの最大数のことであり、方程式系が解を持つか、変換が可逆であるか、データがどのように圧縮可能かなどを決定する極めて重要な概念です。この電卓は、段階的な行削減プロセス、ピボット分析、零空間の計算、視覚的なヒートマップ、および次元定理による検証機能を提供します。

行列のランクとは何ですか？

行列 A のランクは次のように定義されます：

また、ランクは以下のようにも表現できます：

• A の階段行列におけるピボット位置の数
• A の列空間（像）の次元
• A の行空間の次元
• A の非ゼロの特異値の数
• 最大の非ゼロの小行列式（正方部分行列の行列式）のサイズ

m×n行列の場合、ランクは \(0 \leq \text{rank}(A) \leq \min(m, n)\) を満たします。

ガウス消去法によるランクの決定

ガウス消去法（または行削減）は、3つの行基本変形を使用して、行列を階段行列（REF）に変換します：

1. 行の入れ替え： 2つの行を入れ替える (\(R_i \leftrightarrow R_j\))
2. 行のスカラー倍： 行に非ゼロのスカラーを掛ける (\(R_i \leftarrow c \cdot R_i\))
3. 行の加算： ある行の倍数を別の行に加える (\(R_i \leftarrow R_i + c \cdot R_j\))

階段行列の状態において：

• すべてのゼロ行は下部に集められます
• 各非ゼロ行の先頭の項（ピボット）は、その上の行のピボットよりも右側に位置します
• ランクは、階段行列における非ゼロの行（ピボット）の数に等しくなります

この電卓では、数値的な安定性を高めるために、各列で絶対値が最大の要素をピボットとして選択する部分ピボット選択を使用しています。

次元定理（ランク・退化次数の定理）

ここで n は行列 A の列数です。nullity（退化次数）は零空間（核）の次元であり、Ax = 0 のすべての解の集合の次元を指します。この定理は、すべての列がピボット列（ランクに寄与）か自由列（退化次数に寄与）のいずれかであることを意味します。

ランクと連立一次方程式

行列のランクは、線形システム Ax = b の解の可能性を直接決定します：

特殊なケースと性質

フルランク（満秩）

rank(A) = min(m, n) のとき、行列はフルランクであると言います：

• n×n正方行列の場合：フルランクは可逆（det ≠ 0）であり、零空間が自明であることを意味します
• 縦長の行列 (m > n) の場合：フル列ランクは単射（1対1）を意味します
• 横長の行列 (m < n) の場合：フル行ランクは全射（上への写像）を意味します

ランク不足（階数不足）の行列

rank(A) < min(m, n) の場合、その行列はランク不足です（正方行列の場合は特異行列）。これは行または列が線形従属である場合、つまり一部の行が他の行の組み合わせとして表現できる場合に発生します。

主なランクの性質

• rank(A) = rank(A^T) — 行ランクと列ランクは常に等しい
• rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)) — 積のランクの上限
• rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) — 劣加法性
• rank(A^TA) = rank(AA^T) = rank(A)

様々な分野における行列ランクの応用

よくある質問

行列のランクとは何ですか？

行列のランクとは、その行列における線形独立な行ベクトル（または等価的に列ベクトル）の最大数のことです。これは列空間（または行空間）の次元を示します。m×n行列の場合、ランクは最大でもmin(m, n)となります。ランクがmin(m, n)に等しい行列はフルランクと呼ばれます。

ガウス消去法で行列のランクはどのように計算されますか？

ガウス消去法では、行の入れ替え、行の定数倍、ある行の倍数を別の行に加えるという行基本変形を行い、行列を階段行列（REF）に変換します。ランクは、階段行列における非ゼロの行の数（つまりピボット位置の数）に等しくなります。この方法は線形代数の授業で教えられる標準的な手順です。

次元定理（ランク・退化次数の定理）とは何ですか？

次元定理は、任意のm×n行列Aに対して、rank(A) + nullity(A) = n（nは列の数）が成り立つことを述べています。nullity（退化次数）は、Ax = 0を満たすすべてのベクトルxの集合である零空間の次元です。この定理は、列空間の次元と零空間の次元を関連付ける基本的なものです。

行列がフルランクであるとはどういう意味ですか？

行列のランクが、行数と列数の小さい方の値であるmin(m, n)に等しいとき、その行列はフルランクであると言います。n×nの正方行列の場合、フルランクはランクがnであることを意味し、行列式がゼロではなく可逆（正則）であることを示します。フルランクの行列は自明な零空間のみを持ち、その列は互いに線形独立です。

行ランクと列ランクの違いは何ですか？

線形代数の基本定理により、任意の行列において行ランク（行空間の次元）は常に列ランク（列空間の次元）と等しいことが証明されています。この共通の値がその行列の「ランク」と呼ばれます。ガウス消去法はピボット行を数えることで直接的に行ランクを求めますが、その数は同時に列ランクも表しています。

行列のランクは連立一次方程式とどのように関係していますか？

方程式 Ax = b において、ランクは解が存在するかどうかを決定します。rank(A) = rank([A|b]) であれば、系は矛盾せず解を持ちます。さらに rank(A) = n（未知数の数）であれば、解はただ一つに定まります。rank(A) < n の場合は、n - rank(A) 個の自由変数によって決まる無限個の解が存在します。ルーシェ・カペリの定理がこれらの条件を定義しています。

参考リソース

• 行列の階数（ランク） - Wikipedia
• ガウス消去法 - Wikipedia
• 次元定理 - Wikipedia