外積電卓

行列式の公式で2つの3Dベクトルの外積を計算します。段階的な展開、直交する結果ベクトル、平行四辺形の面積としての大きさ、向きの確認、3Dビジュアライゼーションを表示します。

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外積電卓

外積計算機は、行列式公式を使用して 2つの3Dベクトルのベクトル積を計算します。2つのベクトルの成分を入力すると、即座に結果の垂直ベクトル、その大きさ（平行四辺形の面積）、入力ベクトル間の角度、行列式の詳細な展開手順、垂直性の検証、およびドラッグで回転可能なインタラクティブな3D図が表示されます。

外積の公式

2つの3Dベクトル $\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ と $\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$ の外積は、以下の行列式として定義されます：

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

第1行に沿って余因子展開を行うと、以下のようになります：

$$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \hat{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \hat{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

実世界での応用

🔧

トルク

τ = r × F で回転力を計算

🌊

角運動量

回転力学における L = r × p

🎮

面の法線

3Dレンダリングのライティングに使用

✈

電磁気学

ローレンツ力 F = qv × B

📐

面積計算

|a×b| は平行四辺形/三角形の面積

🏗

構造工学

一点の周りの力のモーメント

主な公式

特性	公式	説明
外積	$\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle$	外積の成分表示
大きさ	$\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta$	平行四辺形の面積に等しい
反交換律	$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$	順序を入れ替えると方向が反転する
垂直性	$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$	結果は常に両方の入力ベクトルに垂直
平行判定	$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \\| \vec{b}$	外積が零ベクトルの場合、ベクトルは平行
三角形の面積	$A = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|$	平行四辺形の面積の半分

外積 vs. 内積

外積 (a × b)

両方の入力に垂直なベクトルを生成します。3Dでのみ定義されます。大きさは平行四辺形の面積に等しくなります。ベクトルが平行なときにゼロになります。垂直なときに最大になります。反交換律：a × b = -(b × a)。

内積 (a · b)

スカラー値を生成します。あらゆる次元で機能します。ベクトル間の整列度を測定します。ベクトルが垂直なときにゼロになります。平行なときに最大になります。交換律：a · b = b · a。

主な性質

反交換律

$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ — 順序が重要

分配法則

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

スカラー倍

$(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})$

自己の外積

$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ — 常にゼロ

結合法則の不在

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$

ラグランジュの恒等式

$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$

右手の法則の理解

外積の方向は右手の法則に従います。右手の指を最初のベクトル $\vec{a}$ に沿って向け、2番目のベクトル $\vec{b}$ の方へ曲げると、親指が $\vec{a} \times \vec{b}$ の方向を指します。これが外積が反交換律を持つ理由です。順序を逆にすると親指の向きが反転し、$\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$ となります。

大きさ $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ は、2つのベクトルによって形成される平行四辺形の面積を表します。ベクトルが平行な場合（$\theta = 0°$ または $180°$）、面積はゼロになります。垂直な場合（$\theta = 90°$）、面積は $|\vec{a}| \times |\vec{b}|$ で最大となります。

外積計算機の使い方

ベクトル a を入力: カンマで区切られた3つの成分 (x, y, z) を入力します（例: 2, 3, 4）。クイック例をクリックして両方のベクトルを自動入力することもできます。
ベクトル b を入力: 2番目のベクトルの3つの成分を同じ形式で入力します。
ライブプレビューを確認: 3Dプレビューはリアルタイムで更新され、両方のベクトル、外積ベクトル、および平行四辺形が表示されます。
計算をクリック: ボタンを押すと、垂直な結果ベクトル、平行四辺形の面積、角度、行列式の展開手順、インタラクティブな3D図を含む完全な結果が表示されます。
図を操作する: ドラッグして3Dビューを回転させたり、レイヤー（平行四辺形、外積ベクトル、軸、ラベル）を切り替えてさまざまな視覚化を確認したりできます。

FAQ

2つのベクトルの外積とは何ですか？

2つの3Dベクトル a と b の外積（ベクトル積とも呼ばれる）は、a と b の両方に垂直な新しいベクトルを生成します。これは、1行目に単位ベクトル i, j, k を配置した 3×3 行列の行列式を使用して計算されます。結果の大きさは、2つのベクトルによって形成される平行四辺形の面積に等しくなります。

行列式法を使用して外積を計算するにはどうすればよいですか？

1行目に i-hat, j-hat, k-hat、2行目にベクトル a の成分、3行目にベクトル b の成分を配置した 3×3 行列を設定します。次に、第1行に沿って展開します：i(a₂b₃ − a₃b₂) − j(a₁b₃ − a₃b₁) + k(a₁b₂ − a₂b₁)。これにより、外積ベクトルの3つの成分が得られます。

なぜ外積は3Dでしか定義されないのですか？

ベクトル演算としての外積が3次元（および7次元）でのみ定義されるのは、これらの空間においてのみ、与えられた2つのベクトルに対して一意の垂直ベクトルを見つけることができるからです。2Dには平面外の方向がなく、より高い次元では垂直空間が複数の次元を持ちます。

外積の大きさの幾何学的な意味は何ですか？

大きさ |a × b| は、ベクトル a と b によって形成される平行四辺形の面積に等しくなります。この値の半分は三角形の面積になります。これは物理学（トルク = r × F）やコンピュータグラフィックス（ライティングのための面法線の計算）で広く利用されています。

外積の右手の法則とは何ですか？

右手の法則は外積の方向を決定します。指をベクトル a に沿って向け、ベクトル b の方へ曲げると、親指が a × b の方向を指します。これは外積が反交換律を持つことを意味します。つまり、a × b は −(b × a) に等しくなります。

このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合：

"外積電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/外積計算機/）、MiniWebtool、https://MiniWebtool.com/

miniwebtool チームによる提供。最終更新日: 2026-04-10

開発者向け API が利用できます: このツールをアプリ、自動化、エージェントから 1 回の JSON HTTP リクエストで実行できます。 API ドキュメントを見る

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外積の公式

実世界での応用

主な公式

外積 vs. 内積

外積 (a × b)

内積 (a · b)

主な性質

右手の法則の理解

外積計算機の使い方

FAQ

線形代数:

数学ソルバー

数と約数

分数と除算

累乗・平方根・対数

代数と方程式

微積分

幾何と三角法

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特性	公式	説明
外積	\(\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle\)	外積の成分表示
大きさ	\(\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta\)	平行四辺形の面積に等しい
反交換律	\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)	順序を入れ替えると方向が反転する
垂直性	\((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0\)	結果は常に両方の入力ベクトルに垂直
平行判定	\(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \\| \vec{b}\)	外積が零ベクトルの場合、ベクトルは平行
三角形の面積	\(A = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|\)	平行四辺形の面積の半分