列空間電卓

行基本変形を使用して、任意の行列の列空間と基底を求めます。ピボット列のハイライト、階数（ランク）、次元、および2D/3D列空間のインタラクティブな視覚化とともに、各行操作のステップを逐一確認できます。

列空間電卓

列空間計算機は、行列を簡約行階段形（RREF）に行基本変形することによって、任意の行列の列空間（値域または像とも呼ばれる）を求めます。ピボット列を特定し、元の行列から対応する基底ベクトルを抽出し、ランク（階数）と退化次数を計算します。ステップバイステッププレーヤーは、入れ替え、スケーリング、消去など、すべての行操作を表示するため、プロセス全体を追うことができます。2Dおよび3D行列の場合、対話型の視覚化により、列空間が直線、平面、または空間全体として表示されます。

列空間とは何ですか？

行列 A の列空間（Col(A) または Range(A) と表記）は、A の列ベクトルのすべての線形結合の集合です。言い換えれば、列の張る部分空間（スパン）です。

$$\text{Col}(A) = \{ A\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \} = \text{span}(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n)$$

列空間は $\mathbb{R}^m$（m は行数）の部分空間です。その次元は行列のランクに等しくなります。

列空間の求め方

行列 A を書く — ベクトルを列として配置します。
RREF に行基本変形する — 行列が簡約行階段形になるまで、ガウス消去法（行の入れ替え、スケーリング、消去）を適用します。
ピボット列を特定する — RREF において主成分（ピボット）の 1 を含む列を確認します。
元の行列から基底を抽出する — ピボット位置にある元の行列 A の列が、列空間の基底を形成します。

重要な概念

◈

ランク（階数）

列空間の次元 = ピボット列の数

◯

退化次数

零空間の次元 = 自由変数の数

⊞

次元定理

rank(A) + nullity(A) = 列の数

↔

ピボット列

RREF において主成分の 1 を含む列

列空間 vs. 行空間 vs. 零空間

部分空間	定義	次元	属する空間
列空間 (Col A)	A の列のスパン	rank(A)	ℝ^m
行空間 (Row A)	A の行のスパン	rank(A)	ℝⁿ
零空間 (Null A)	Ax = 0 の解	nullity(A)	ℝⁿ
左零空間	A^Tx = 0 の解	m − rank(A)	ℝ^m

列空間計算機（列空間電卓）の使い方

次元を設定する — 行列の行数と列数を選択します（最大 6×6）。
値を入力する — 各セルに数値を入力します。異なるランクの行列がプリセットされたクイックサンプルも利用できます。
計算する — 「列空間を求める」をクリックして、完全な解析を表示します。
結果を調べる — ステッププレーヤーを使用して、各行操作を確認します。強調表示されたピボット列、基底ベクトル、および次元定理の内訳を確認してください。小さな行列の場合は、幾何学的な視覚化をチェックしてください。