Calculadora de Raíz Primitiva

Bienvenido a la Calculadora de Raíz Primitiva, una potente herramienta gratuita en línea que encuentra todas las raíces primitivas módulo cualquier entero positivo n. Esta calculadora ofrece verificación paso a paso, tablas de potencias y una visualización animada del grupo cíclico para ayudarle a comprender cómo las raíces primitivas generan grupos multiplicativos. Ya sea que esté estudiando teoría de números, preparándose para exámenes de criptografía o trabajando con aritmética modular en programación competitiva, esta herramienta ofrece resultados instantáneos y precisos con información educativa.

¿Qué es una Raíz Primitiva?

Una raíz primitiva módulo n es un entero g cuyas potencias generan todos los enteros que son coprimos con n. Formalmente, g es una raíz primitiva mod n si el orden multiplicativo de g módulo n es igual a la función totiente de Euler \(\varphi(n)\). Esto significa que el conjunto

contiene exactamente todos los \(\varphi(n)\) enteros del 1 al n-1 que son coprimos con n. Una raíz primitiva es esencialmente un generador del grupo cíclico \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*\).

Ejemplo Rápido

Considere n = 7. Como 7 es primo, \(\varphi(7) = 6\). Comprobemos si g = 3 es una raíz primitiva:

• 3¹ mod 7 = 3
• 3² mod 7 = 2
• 3³ mod 7 = 6
• 3⁴ mod 7 = 4
• 3⁵ mod 7 = 5
• 3⁶ mod 7 = 1

Las potencias producen {3, 2, 6, 4, 5, 1} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, que son todos los enteros coprimos con 7. Por lo tanto, 3 es una raíz primitiva módulo 7.

¿Cuándo existen las raíces primitivas?

Existen raíces primitivas módulo n si y solo si n tiene una de estas formas:

• n = 1, 2 o 4
• n = p^k donde p es un primo impar y k ≥ 1
• n = 2p^k donde p es un primo impar y k ≥ 1

Por ejemplo, existen raíces primitivas para 7, 9, 11, 13, 14, 18, 23, 25, 27, 46, pero no para 8, 12, 15, 16, 20, 21, 24.

Cómo encontrar raíces primitivas

1. Ingrese el módulo: Escriba un entero positivo n (de 2 a 100,000) en el campo de entrada.
2. Calcular: Haga clic en "Calcular Raíces Primitivas" o presione Enter.
3. Ver todas las raíces: Vea la lista completa de raíces primitivas, junto con la función de Euler y estadísticas.
4. Estudie la tabla de potencias: Examine cómo la raíz primitiva más pequeña genera todos los residuos coprimos.
5. Visualice el grupo cíclico: Para módulos pequeños, vea la rueda animada que muestra la estructura cíclica.

¿Cuántas raíces primitivas tiene n?

Si existen raíces primitivas módulo n, la cantidad es igual a:

Por ejemplo, para n = 13: \(\varphi(13) = 12\) y \(\varphi(12) = 4\), por lo que hay exactamente 4 raíces primitivas módulo 13 (que son 2, 6, 7, 11).

El Algoritmo de Verificación

Para comprobar si g es una raíz primitiva módulo n de forma eficiente:

1. Calcule \(\varphi(n)\) usando la factorización prima de n
2. Encuentre todos los factores primos distintos \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) de \(\varphi(n)\)
3. Para cada factor primo \(p_i\), verifique: \(g^{\varphi(n)/p_i} \not\equiv 1 \pmod{n}\)
4. Si TODAS las comprobaciones pasan, entonces g es una raíz primitiva

Este método es mucho más rápido que calcular todas las potencias de g, ya que solo necesitamos probar \(k\) potenciaciones en lugar de \(\varphi(n)\).

Raíces Primitivas en Criptografía

Intercambio de claves Diffie-Hellman

El protocolo Diffie-Hellman utiliza un primo grande p y una raíz primitiva g módulo p. Alice elige un secreto a y envía \(g^a \bmod p\). Bob elige un secreto b y envía \(g^b \bmod p\). Ambos calculan el secreto compartido \(g^{ab} \bmod p\). La seguridad se basa en que el problema del logaritmo discreto es computacionalmente difícil.

Cifrado ElGamal

ElGamal también utiliza una raíz primitiva como generador. La clave pública es \((p, g, g^x \bmod p)\) donde x es privado. El hecho de que g genere todos los elementos garantiza que cada mensaje pueda ser cifrado.

Firmas Digitales

El DSA (Algoritmo de Firma Digital) y esquemas relacionados utilizan raíces primitivas en subgrupos de \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*\) para crear y verificar firmas digitales.

Tabla de Referencia: Raíces Primitivas más Pequeñas

Preguntas Frecuentes

¿Qué es una raíz primitiva módulo n?

Una raíz primitiva módulo n es un entero g tal que las potencias \(g^1, g^2, \ldots, g^{\varphi(n)}\) producen todos los enteros coprimos con n cuando se toman módulo n. En otras palabras, g genera todo el grupo multiplicativo \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*\). El orden multiplicativo de g módulo n es igual a la función totiente de Euler \(\varphi(n)\).

¿Para qué valores de n existen raíces primitivas?

Existen raíces primitivas módulo n si y solo si n es 1, 2, 4, p^k o 2p^k, donde p es un primo impar y k ≥ 1. Por ejemplo, existen raíces primitivas para n = 7 (primo), n = 9 (3²), n = 14 (2×7), pero NO para n = 8, 12, 15 o 16.

¿Cuántas raíces primitivas tiene n?

Si existen raíces primitivas módulo n, el número de raíces primitivas es igual a \(\varphi(\varphi(n))\), donde \(\varphi\) es la función totiente de Euler. Por ejemplo, para n = 13 (primo), \(\varphi(13) = 12\) y \(\varphi(12) = 4\), por lo que hay exactamente 4 raíces primitivas módulo 13.

¿Por qué son importantes las raíces primitivas en criptografía?

Las raíces primitivas son fundamentales para el protocolo de intercambio de claves Diffie-Hellman y el sistema de cifrado ElGamal. En estos protocolos criptográficos, se utiliza una raíz primitiva g módulo un primo grande p como generador. La seguridad se basa en la dificultad del problema del logaritmo discreto: dado \(g^x \bmod p\), es computacionalmente difícil encontrar x.

¿Cómo se verifica que g es una raíz primitiva módulo n?

Para verificar que g es una raíz primitiva mod n: (1) Calcula \(\varphi(n)\). (2) Encuentra todos los factores primos \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) de \(\varphi(n)\). (3) Comprueba que \(g^{\varphi(n)/p_i} \not\equiv 1 \pmod{n}\) para cada factor primo \(p_i\). Si todas las comprobaciones pasan, g es una raíz primitiva. Esto es mucho más rápido que calcular todas las potencias de g.

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