Definitions- und Wertebereich-Rechner

Definitions- und Wertebereich-Rechner

Willkommen bei unserem **Definitions- und Wertebereich-Rechner**, einem kostenlosen Online-Tool, das Ihnen hilft, den Definitions- und Wertebereich algebraischer Funktionen zu finden. Egal, ob Sie Schüler sind, der etwas über Funktionen lernt, sich auf Prüfungen vorbereitet, oder Lehrer, der Beispiele erstellt, dieser Rechner bietet eine Schritt-für-Schritt-Analyse mit klaren Ergebnissen in Intervallschreibweise.

Was ist der Definitionsbereich einer Funktion?

Der **Definitionsbereich** einer Funktion ist die Menge aller möglichen Eingabewerte (typischerweise x-Werte), für die die Funktion eine gültige Ausgabe erzeugt. Mit anderen Worten, er repräsentiert alle x-Werte, die Sie in die Funktion einsetzen können, ohne mathematische Fehler zu verursachen.

Häufige Einschränkungen, die den Definitionsbereich begrenzen, sind:

• **Division durch Null:** Der Nenner eines Bruchs darf nicht gleich Null sein
• **Quadratwurzeln aus negativen Zahlen:** Gerade Wurzeln erfordern nicht-negative Radikanden in den reellen Zahlen
• **Logarithmen:** Das Argument eines Logarithmus muss positiv sein
• **Inverse trigonometrische Funktionen:** Haben spezifische Eingabeschränkungen

Was ist der Wertebereich einer Funktion?

Der **Wertebereich** einer Funktion ist die Menge aller möglichen Ausgabewerte (typischerweise y-Werte), die die Funktion erzeugen kann. Er repräsentiert alle Werte, die f(x) tatsächlich annehmen kann, wenn x über den Definitionsbereich variiert.

Das Finden des Wertebereichs erfordert oft die Analyse von:

• **Maximum- und Minimumwerte:** Was sind die größten und kleinsten Ausgaben?
• **Asymptotisches Verhalten:** Was passiert, wenn x gegen unendlich oder bestimmte Werte strebt?
• **Funktionstransformationen:** Wie Verschiebungen und Streckungen die Ausgabe beeinflussen

Häufige Funktionstypen und ihr Definitions-/Wertebereich

Wie man den Definitionsbereich findet - Schritt für Schritt

Schritt 1: Potenzielle Einschränkungen identifizieren

Suchen Sie nach Operationen, die Eingabeschränkungen haben:

• Brüche - Nenner dürfen nicht gleich Null sein
• Gerade Wurzeln (Quadratwurzeln, vierte Wurzeln usw.) - Radikand muss nicht-negativ sein
• Logarithmen - Argument muss positiv sein

Schritt 2: Nach eingeschränkten Werten auflösen

Für jede identifizierte Einschränkung lösen Sie die Gleichung oder Ungleichung, um die ausgeschlossenen Werte zu finden.

Schritt 3: Den Definitionsbereich in Intervallschreibweise schreiben

Drücken Sie den Definitionsbereich in Intervallschreibweise aus, wobei alle eingeschränkten Werte ausgeschlossen werden. Verwenden Sie runde Klammern ( ) für offene Intervalle (Wert nicht enthalten) und eckige Klammern [ ] für geschlossene Intervalle (Wert enthalten).

Beispiele

Beispiel 1: Rationale Funktion

Finden Sie den Definitionsbereich von $f(x) = \frac{1}{x-2}$

**Lösung:** Der Nenner $x-2 = 0$, wenn $x = 2$. Daher ist der Definitionsbereich $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$, was bedeutet: alle reellen Zahlen außer 2.

Beispiel 2: Wurzelfunktion

Finden Sie den Definitionsbereich von $f(x) = \sqrt{x-3}$

**Lösung:** Der Radikand $x-3 \geq 0$, also $x \geq 3$. Der Definitionsbereich ist $[3, +\infty)$.

Beispiel 3: Logarithmische Funktion

Finden Sie den Definitionsbereich von $f(x) = \log(x+1)$

**Lösung:** Das Argument $x+1 > 0$, also $x > -1$. Der Definitionsbereich ist $(-1, +\infty)$.

Anleitung zur Intervallschreibweise

• **$(a, b)$** - Offenes Intervall: alle Zahlen zwischen a und b, a und b nicht eingeschlossen
• **$[a, b]$** - Geschlossenes Intervall: alle Zahlen zwischen a und b, einschließlich a und b
• **$(a, b]$** - Halboffenes Intervall: enthält b, aber nicht a
• **$[a, b)$** - Halboffenes Intervall: enthält a, aber nicht b
• **$(-\infty, a)$** - Alle Zahlen kleiner als a
• **$(a, +\infty)$** - Alle Zahlen größer als a
• **$\cup$** - Vereinigungs-Symbol: kombiniert zwei oder mehr Intervalle

Tipps zur Verwendung dieses Rechners

• Verwenden Sie x als Variable für Funktionen
• Verwenden Sie ^ oder ** für Exponenten (z. B. x^2 oder x**2)
• Verwenden Sie sqrt(x) für Quadratwurzeln
• Verwenden Sie log(x) für den natürlichen Logarithmus
• Verwenden Sie sin(x), cos(x), tan(x) für trigonometrische Funktionen
• Verwenden Sie exp(x) oder e^x für Exponentialfunktionen

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Kann eine Funktion einen leeren Definitionsbereich haben?

Ja, eine Funktion kann einen leeren Definitionsbereich haben, wenn es keine reellen Werte für x gibt, für die die Funktion definiert ist. Zum Beispiel hat $f(x) = \sqrt{-x^2-1}$ keinen reellen Definitionsbereich, da $-x^2-1$ immer negativ ist.

Wie unterscheidet sich der Definitionsbereich vom Wertebereich?

Der Definitionsbereich bezieht sich auf alle möglichen Eingabewerte (x-Werte), während sich der Wertebereich auf alle möglichen Ausgabewerte (y-Werte) bezieht. Stellen Sie sich den Definitionsbereich als das vor, was Sie in die Funktion hineinstecken können, und den Wertebereich als das, was Sie herausbekommen können.

Warum wird Unendlichkeit mit Klammern geschrieben?

Unendlichkeit wird immer mit runden Klammern ( ) geschrieben, da es keine reelle Zahl ist, die erreicht oder eingeschlossen werden kann. Wir können uns der Unendlichkeit nur nähern, sie aber niemals tatsächlich in ein Intervall einschließen.

Zusätzliche Ressourcen

Um mehr über Definitions- und Wertebereich von Funktionen zu erfahren:

• Definitionsmenge - Wikipedia
• Definitions- und Wertebereich - Khan Academy
• Domain - Wolfram MathWorld (Englisch)