Black-Scholes-Optionspreisrechner

Black-Scholes-Optionspreisrechner

Willkommen beim Black-Scholes-Optionspreisrechner, einem professionellen Tool zur Berechnung des theoretischen fairen Werts europäischer Call- und Put-Optionen mit dem Nobelpreis-prämierten Black-Scholes-Modell. Dieser Rechner bietet eine vollständige Analyse der Griechen, interaktive Visualisierungen und umfassende Risikokennzahlen, die für Optionshändler, Finanzanalysten und Studenten der Derivatelehre unverzichtbar sind.

Was ist das Black-Scholes-Modell?

Das Black-Scholes-Modell (auch bekannt als Black-Scholes-Merton-Modell) ist ein mathematisches Rahmenwerk zur Preisgestaltung von Optionskontrakten europäischen Stils. Es wurde 1973 von Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton entwickelt. Diese bahnbrechende Arbeit brachte Scholes und Merton 1997 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften ein (Black war zu diesem Zeitpunkt bereits verstorben).

Das Modell revolutionierte die Finanzmärkte, indem es die erste analytisch handhabbare Methode zur Berechnung des fairen Preises einer Option bot. Vor Black-Scholes wurden Optionen oft auf der Grundlage von Intuition und Erfahrung bepreist. Die elegante Formel des Modells gab Händlern und Institutionen eine standardisierte Methode zur Bewertung von Optionen an die Hand, was weltweit zu einem explosionsartigen Wachstum der Optionsmärkte führte.

Wichtige Annahmen des Black-Scholes-Modells

• Optionen europäischen Stils: Die Option kann nur bei Fälligkeit ausgeübt werden, nicht davor.
• Keine Dividenden: Die zugrunde liegende Aktie zahlt während der Laufzeit der Option keine Dividenden (das Modell kann jedoch für Dividenden angepasst werden).
• Effiziente Märkte: Die Märkte sind vollkommen liquide und es gibt keine Arbitragemöglichkeiten.
• Keine Transaktionskosten: Beim Handel mit der Aktie und der Option fallen keine Gebühren oder Provisionen an.
• Konstante Volatilität: Die Volatilität der Aktie bleibt über die Laufzeit der Option konstant.
• Konstante Zinssätze: Der risikolose Zinssatz bleibt über die Laufzeit der Option konstant.
• Lognormalverteilung: Die Aktienkurse folgen einer geometrischen Brownschen Bewegung mit Drift.

Die Black-Scholes-Formeln

Call-Optionspreis

Put-Optionspreis

Die Parameter d1 und d2

Dabei gilt:

• S = Aktueller Aktienkurs
• K = Ausübungspreis (Strike)
• T = Restlaufzeit (in Jahren)
• r = Risikoloser Zinssatz (annualisiert)
• sigma = Volatilität (annualisierte Standardabweichung)
• q = Kontinuierliche Dividendenrendite
• N(x) = Standardnormal-Verteilungsfunktion
• e = Eulersche Zahl (ca. 2,71828)

Die Options-Griechen verstehen

Die Griechen sind wesentliche Risikomaße, die beschreiben, wie sich der Preis einer Option in Bezug auf verschiedene Faktoren ändert. Professionelle Händler nutzen die Griechen, um ihre Optionspositionen zu verstehen, zu messen und abzusichern.

Grieche	Misst	Interpretation
Delta	Preissensitivität gegenüber Kursbewegungen	Ein Delta von 0,5 bedeutet, dass sich der Optionspreis bei einer Kursänderung der Aktie um 1 $ um 0,50 $ ändert.
Gamma	Änderungsrate von Delta	Misst, wie schnell sich Delta ändert, wenn sich der Aktienkurs bewegt; am höchsten bei Optionen am Geld.
Theta	Zeitwertverfall pro Tag	Zeigt, wie viel Wert die Option jeden Tag verliert; bei Long-Optionen immer negativ.
Vega	Sensitivität gegenüber Volatilität	Zeigt, wie stark sich der Optionspreis bei einer Änderung der impliziten Volatilität um 1 % ändert.
Rho	Sensitivität gegenüber Zinssätzen	Zeigt, wie stark sich der Optionspreis bei einer Änderung der Zinssätze um 1 % ändert.

Delta im Detail

Delta ist der am häufigsten verwendete Grieche. Bei Call-Optionen reicht Delta von 0 bis 1, bei Put-Optionen von -1 bis 0. Delta kann auch als die ungefähre Wahrscheinlichkeit interpretiert werden, dass die Option im Geld verfällt. Eine Option am Geld hat typischerweise ein Delta nahe 0,5 für Calls oder -0,5 für Puts.

Gamma im Detail

Gamma misst die Konvexität des Werts einer Option. Es ist sowohl für Calls als auch für Puts immer positiv. Optionen mit hohem Gamma erfahren schnelle Änderungen des Deltas, wenn sich die Aktie bewegt, was sie empfindlicher gegenüber Preisbewegungen macht. Gamma ist bei Optionen am Geld kurz vor dem Verfall am höchsten.

Theta im Detail

Theta stellt den täglichen Verfall des Zeitwerts einer Option dar. Unter sonst gleichen Bedingungen verlieren Optionen mit der Zeit an Wert. Dieser Zeitwertverfall beschleunigt sich mit herannahendem Verfall, insbesondere bei Optionen am Geld. Theta ist der Feind von Optionskäufern und der Freund von Optionsverkäufern.

Vega im Detail

Vega misst, wie empfindlich der Preis einer Option auf Änderungen der impliziten Volatilität reagiert. Eine höhere Volatilität erhöht die Optionspreise, da die Wahrscheinlichkeit signifikanter Preisbewegungen größer ist. Vega ist bei Optionen am Geld mit längerer Restlaufzeit am höchsten.

Rho im Detail

Rho misst die Zinssensitivität. Höhere Zinssätze erhöhen im Allgemeinen den Wert von Call-Optionen und senken den Wert von Put-Optionen. Rho wird bei länger laufenden Optionen bedeutender, ist aber in der Regel der unwichtigste Grieche für den kurzfristigen Handel.

So verwenden Sie diesen Rechner

1. Geben Sie den aktuellen Aktienkurs (S) ein: Geben Sie den aktuellen Marktpreis der zugrunde liegenden Aktie ein. Dies ist der Preis, zu dem die Aktie aktuell gehandelt wird.
2. Legen Sie den Ausübungspreis (K) fest: Geben Sie den Ausübungspreis der Option ein. Dies ist der Preis, zu dem Sie die Aktie bei Ausübung der Option kaufen (Call) oder verkaufen (Put) können.
3. Geben Sie die Restlaufzeit (T) an: Geben Sie die verbleibende Zeit bis zum Verfall in Jahren ein. Beispiel: 0,5 für 6 Monate, 0,25 für 3 Monate, oder teilen Sie die Tage durch 365.
4. Geben Sie den risikolosen Zinssatz (r) ein: Geben Sie den aktuellen risikolosen Zinssatz in Prozent ein. Verwenden Sie normalerweise die Rendite von Staatsanleihen, die dem Verfall der Option entspricht.
5. Legen Sie die Volatilität (sigma) fest: Geben Sie die annualisierte Volatilität in Prozent ein. Sie können die historische Volatilität oder die implizite Volatilität ähnlicher Optionen verwenden.
6. Dividendenrendite hinzufügen (optional): Wenn die Aktie Dividenden zahlt, geben Sie die kontinuierliche Dividendenrendite ein. Lassen Sie den Wert bei 0 für Aktien, die keine Dividenden zahlen.
7. Berechnen und analysieren: Lassen Sie sich umfassende Ergebnisse anzeigen, einschließlich Optionspreisen, allen Griechen, Wahrscheinlichkeitsmetriken und interaktiven Diagrammen.

Ihre Ergebnisse verstehen

Optionspreise

Der Rechner zeigt die theoretischen Preise für Call- und Put-Optionen an. Diese stellen den fairen Wert gemäß dem Black-Scholes-Modell dar. Die tatsächlichen Marktpreise können aufgrund von Angebot und Nachfrage, Transaktionskosten und Modellbeschränkungen abweichen.

Innerer Wert vs. Zeitwert

Der Preis einer Option besteht aus dem inneren Wert plus dem Zeitwert:

• Innerer Wert: Der sofortige Ausübungswert. Für Calls: max(S-K, 0). Für Puts: max(K-S, 0).
• Zeitwert: Der Aufschlag über dem inneren Wert, der die Möglichkeit einer günstigen Preisbewegung vor dem Verfall widerspiegelt.

Geldnähe (Moneyness)

• Im Geld (In-the-Money - ITM): Call, wenn S > K; Put, wenn K > S. Die Option hat einen inneren Wert.
• Am Geld (At-the-Money - ATM): Wenn S ungefähr gleich K ist. Maximaler Zeitwert.
• Aus dem Geld (Out-of-the-Money - OTM): Call, wenn S < K; Put, wenn K < S. Innerer Wert von Null.

Interaktive Diagramme

Der Rechner generiert drei interaktive Visualisierungen:

• Payoff-Diagramm: Zeigt den Gewinn/Verlust bei Fälligkeit für verschiedene Aktienkurse. Hilft dabei, das Risiko-Ertrags-Profil jedes Optionstyps zu visualisieren.
• Volatilitätssensitivität: Zeigt, wie sich Optionspreise bei verschiedenen Volatilitätsniveaus ändern. Illustriert das Vega-Konzept.
• Zeitwertverfall: Zeigt, wie der Wert einer Option mit herannahendem Verfall abnimmt. Illustriert das Theta-Konzept.

Praktische Anwendungen

Für Händler

• Identifizierung falsch bewerteter Optionen durch Vergleich theoretischer Preise mit Marktpreisen.
• Berechnung der Griechen, um das Risiko zu verstehen und zu steuern.
• Bestimmung von Break-even-Punkten für potenzielle Trades.
• Bewertung der Auswirkungen von Volatilitätsänderungen auf bestehende Positionen.

Für Risikomanager

• Delta-Hedging von Portfolios, um das Richtungsrisiko zu neutralisieren.
• Überwachung des Gamma-Risikos in volatilen Märkten.
• Verfolgung des Theta-Verfalls für Optionsportfolios.
• Stresstests von Positionen gegen Volatilitätsänderungen unter Verwendung von Vega.

Für Studenten und Dozenten

• Erlernen der Beziehung zwischen Optionsvariablen und Preisen.
• Visualisierung abstrakter Konzepte wie Zeitwertverfall und Volatilitätssensitivität.
• Überprüfung von manuellen Berechnungen für akademische Übungen.
• Untersuchung, wie verschiedene Szenarien die Optionsbewertungen beeinflussen.

Einschränkungen des Black-Scholes-Modells

Obwohl Black-Scholes die Grundlage der modernen Optionspreisgestaltung ist, weist es einige bekannte Einschränkungen auf:

Annahme konstanter Volatilität

Die reale Marktvolatilität ist nicht konstant. Sie ändert sich im Laufe der Zeit und variiert über verschiedene Ausübungspreise hinweg (Volatility Smile/Skew). Aus diesem Grund weicht die implizite Volatilität häufig je nach Strike und Verfall ab.

Nur europäische Ausübung

Das Basismodell funktioniert nur für europäische Optionen. Amerikanische Optionen, die vorzeitig ausgeübt werden können, erfordern modifizierte Modelle oder numerische Methoden wie Binomialbäume.

Kein Sprungrisiko (Jump Risk)

Das Modell geht von glatten, kontinuierlichen Preisbewegungen aus. In der Realität können Aktienkurse springen (Gaps), insbesondere bei Gewinnbekanntgaben oder wichtigen Nachrichtenereignissen.

Annahme vollkommener Märkte

Reale Märkte haben Transaktionskosten, Geld-Brief-Spannen und eine begrenzte Liquidität. Diese Faktoren beeinflussen die tatsächlichen Handelsergebnisse, werden aber im Modell nicht erfasst.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist das Black-Scholes-Modell?

Das Black-Scholes-Modell ist ein mathematisches Modell zur Preisgestaltung von Optionskontrakten europäischen Stils. Es wurde 1973 entwickelt und berechnet den theoretischen fairen Wert von Optionen auf der Grundlage von fünf Schlüsselvariablen: Aktienkurs, Ausübungspreis, Laufzeit, Zinssatz und Volatilität.

Was sind die Options-Griechen?

Options-Griechen sind Risikomaße, die beschreiben, wie sich der Preis einer Option in Bezug auf verschiedene Faktoren ändert. Dazu gehören Delta, Gamma, Theta, Vega und Rho.

Was ist die implizite Volatilität?

Die implizite Volatilität ist die Markterwartung hinsichtlich der künftigen Schwankungsbreite eines Basiswerts. Sie wird aus dem aktuellen Marktpreis einer Option mithilfe der Black-Scholes-Formel abgeleitet.

Was ist der Unterschied zwischen europäischen und amerikanischen Optionen?

Europäische Optionen können nur am Laufzeitende ausgeübt werden, amerikanische Optionen jederzeit während der Laufzeit. Black-Scholes ist primär für europäische Optionen konzipiert.

Wie wirkt sich die Dividendenrendite auf die Optionspreise aus?

Eine Dividendenrendite senkt den Wert von Call-Optionen und erhöht den Wert von Put-Optionen, da die Dividendenzahlung den erwarteten Aktienkurs am Ex-Tag mindert.

Warum können Marktpreise von Black-Scholes-Preisen abweichen?

Mögliche Gründe sind eine abweichende implizite Volatilität, nicht erfüllte Modellannahmen, Ungleichgewichte bei Angebot und Nachfrage sowie Transaktionskosten und Liquiditätseffekte.

Welche Volatilität sollte ich verwenden?

Sie können entweder die historische Volatilität (aus vergangenen Kursen) oder die implizite Volatilität (aus aktuellen Optionspreisen) verwenden. Die implizite Volatilität spiegelt die Markterwartungen wider.

Wie genau ist dieser Rechner?

Dieser Rechner implementiert die Standard-Black-Scholes-Formel mit hoher Präzision. Beachten Sie jedoch, dass die Genauigkeit des Modells davon abhängt, wie gut die realen Märkte die Modellannahmen erfüllen.

Zusätzliche Ressourcen

Erfahren Sie mehr über Optionspreisgestaltung und das Black-Scholes-Modell:

• Black-Scholes-Modell - Wikipedia
• Black-Scholes Model Explained - Investopedia (Englisch)
• Introduction to Options - CME Group (Englisch)