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零空間計算機

透過高斯消去法求解 Ax = 0，找出任何矩陣的零空間（核）。獲取基底向量、零度（Nullity）、逐步的 RREF 化簡過程，以及使用精確分數運算的秩－零度定理驗證。

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範例：
行數 (m)： 3
×
列數 (n)： 4
求解 Ax = 0
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零空間計算機

零空間計算機通過求解齊次方程組 Ax = 0 來查找任何矩陣的零空間（核）。您可以輸入最大 8×8 的任何尺寸矩陣，獲取完整的零空間基底，並附帶精確的分數運算、逐步的高斯消去法轉換至 RREF 過程、列分類（樞紐列與自由列）以及秩-零度定理驗證。

什麼是矩陣的零空間？

一個 \(m \times n\) 矩陣 \(A\) 的零空間（也稱為核）是 \(\mathbb{R}^n\) 中所有滿足以下條件的向量 \(\mathbf{x}\) 的集合：

$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$

以集合表示為：\(\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}\)。零空間始終是 \(\mathbb{R}^n\) 的一個子空間，這意味著它包含零向量，且對加法和純量乘法運算封閉。

⊕
子空間
零空間始終是 R^n 的子空間，包含零向量並滿足運算封閉性。
📊
維度 = 零度
零空間的維度等於零度（nullity），即列簡化後自由變數的數量。
↔
自由變數
RREF 中的每個自由變數都為零空間貢獻一個基底向量。
⚖
秩-零度
rank(A) + nullity(A) = n，其中 n 是列數。此等式始終成立。

如何尋找零空間

第 1 步： 使用 +/- 控制項設置矩陣的行數 (m) 和列數 (n)，或點擊快速範例加載預設矩陣。

第 2 步： 在網格中輸入矩陣數值。您可以輸入整數、小數或分數（如 1/3 或 -5/2）。使用 Tab、Enter 或方向鍵切換儲存格。

第 3 步： 點擊計算零空間。計算機會執行高斯消去法將矩陣轉換為簡化列梯形形式 (RREF)。

第 4 步： 識別樞紐列和自由列。每個自由列對應一個可以取任何值的自由變數。

第 5 步： 對於每個自由變數，將其設為 1 並將所有其他自由變數設為 0，然後求解樞紐變數。得到的向量即構成零空間的基底。

零空間 vs. 列空間

屬性零空間 (Null Space)列空間 (Column Space)
定義所有滿足 Ax = 0 的 x所有使 Ax = b 有解的 b
所在空間\(\mathbb{R}^n\) (定義域)\(\mathbb{R}^m\) (對應域)
維度nullity = n − rankrank (秩)
獲取方式RREF 中的自由列矩陣 A 中的樞紐列

秩-零度定理 (The Rank-Nullity Theorem)

對於任何 \(m \times n\) 矩陣 \(A\)：

$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$

秩是 RREF 中樞紐列的數量，而零度是自由列的數量。兩者之和等於總列數。該定理也被稱為線性映射維度定理。

特殊情況

情境零空間代表意義
全列秩 (rank = n)僅包含 {0}各列線性獨立；Ax = 0 僅有平凡解
列數多於行數 (n > m)始終是非平凡的至少存在 n − m 個自由變數，因此有無窮多個解
奇異方陣非平凡的矩陣行列式為零，且存在相關的行/列
零矩陣整個 \(\mathbb{R}^n\)每個向量都在零空間內；基底為標準基底

零空間的應用

📐
線性系統
Ax = b 的通解為 x = x_p + Null(A)，其中 x_p 是一個特解。
📊
線性獨立性
當且僅當 Null(A) = {0} 時，A 的各列是線性獨立的。
🔄
微分方程
齊次線性 ODE 系統的解空間即為係數矩陣的零空間。
🔐
糾錯碼
在編碼理論中，有效的碼字構成奇偶校驗矩陣 H 的零空間。

常見問題

什麼是矩陣的零空間？

矩陣 A 的零空間（或稱核，kernel）是所有滿足 Ax = 0 的向量 x 的集合。它是 R^n 的一個子空間，其中 n 是列數。零空間始終包含零向量，如果矩陣有自由變數，則可能包含無限多個非零向量。

如何找到零空間？

使用高斯消去法將矩陣 A 轉換為簡化列梯形形式 (RREF)。識別樞紐列和自由列。對於每個自由變數，將其設為 1 並將所有其他自由變數設為 0，然後求解樞紐變數。得到的向量即構成零空間的基底。

什麼是秩-零度定理？

秩-零度定理指出，對於一個 m x n 的矩陣 A，rank(A) + nullity(A) = n，其中 n 是列數。秩（rank）是樞紐列的數量，而零度（nullity）是零空間的維度（自由變數的數量）。

如果零空間是平凡的（trivial）代表什麼？

平凡零空間意味著 Ax = 0 的唯一解是零向量 x = 0。當每一列都是樞紐列（全列秩）時會發生這種情況。這代表 A 的各列在線性上是獨立的。

非方陣也有零空間嗎？

是的。任何矩陣都有零空間。對於一個 m x n 且 m 小於 n 的矩陣，其零空間保證是非平凡的（維度至少為 n - m），因為未知數多於方程式，所以必然存在自由變數。

引用此內容、頁面或工具為：

"零空間計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/零空間計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊開發。更新日期：2026-04-10

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