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方向場斜率場繪圖器

在自訂x-y範圍內繪出任意一階常微分方程的斜率場。點擊畫布即可生成解曲線，觀察粒子沿場流動，並顯示平衡點虛零線，以純SVG呈現，方便儲存或分享。

免費使用無需註冊即時出結果
方向場斜率場繪圖器立即免費試用 ▼
預設範例：
y' = y - x (鞍點場) y' = x·y (高斯鐘形曲線族) y' = sin(x) - y (阻尼振盪) y' = y·(1 - y) (邏輯增長模型) y' = x² - y (拋物線吸引子) y' = -x/y (同心圓)
y' =
使用 x 和 y，運算符 + - * / ^，以及函數 sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs。常數 pi 和 e 可供使用。
最小
最大
最小
最大
每個初始條件會生成一條 RK4 解曲線。繪圖後，您也可以點擊畫布以新增更多曲線。

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方向場斜率場繪圖器

方向場斜率場繪圖器 可以在不進行解析求解的情況下，將任何一階常微分方程（ODE）y' = f(x, y) 的幾何結構視覺化。它在可自定義的網格上繪製小型切線段，其斜率等於 f(x, y)，從而讓解曲線族一目了然。互動式 SVG 畫布讓您能透過點擊生成 RK4 積分的解曲線、觀看粒子流動動畫，並將結果匯出為專業級圖像。

什麼是方向場？

給定一階 ODE y' = f(x, y)，方向場（也稱為斜率場）是放置在定期排列點 (xi, yj) 處的短線段網格。每條線段的斜率為 f(xi, yj)，這也是通過該點的任何解曲線的切線斜率。由於解在任何地方都必須與場保持相切，因此整體圖像能在您寫出顯式公式之前，展示 ODE 的定性行為 —— 吸引子、排斥子、平衡線、振盪等。

y' = dy/dx = f(x, y) → 在 (x, y) 繪製斜率為 f(x, y) 的線段

這項技術在 20 世紀初作為微分方程定性理論的一部分開始流行，現在已成為每門 ODE 入門課程的標準教學工具。

為什麼選擇這款繪圖器？

功能 本計算機 典型在線繪圖器
點擊追蹤曲線 點擊畫布任何位置即可從該處開始 RK4 解曲線 固定曲線組；必須重新提交表單
流動動畫 粒子實時沿場流動 僅靜態圖像
斜率大小著色 對數縮放漸變揭示零斜率線和剛性區域 全程單一顏色
向量匯出 儲存為 SVG 以獲取無限縮放圖形 僅支援點陣 PNG
懸停讀數 顯示游標下的 (x, y) 和斜率 無實時反饋

解曲線是如何計算的？

對於您提供的每個初始條件 (x₀, y₀)，工具會使用經典的四階龍格-庫塔法 (RK4) 對 ODE 進行積分。RK4 在每一步採樣四次斜率 —— 開始一次、中間兩次、結束一次 —— 並將它們進行加權平均：

k₁ = f(x, y) k₂ = f(x + h/2, y + h·k₁/2) k₃ = f(x + h/2, y + h·k₂/2) k₄ = f(x + h, y + h·k₃) yn+1 = yn + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

RK4 的局部截斷誤差為 O(h5)，全局誤差為 O(h4)，因此隨著步長縮小，它收斂到真實解的速度比歐拉方法快四倍。繪圖器會從 (x₀, y₀) 同時向前和向後積分，使曲線向初始點的兩側延伸並填滿整個可視區域。

如何解讀圖表

平衡線與零斜率線（Nullclines）

當線段變為水平時，您正處於 零斜率線 上 —— 即 f(x, y) = 0 的曲線。在自治 ODE y' = g(y) 中，常數零斜率線即為 平衡解；著色功能使其易於識別為藍色水平帶。

穩定與不穩定平衡

在穩定平衡點，鄰近的解會向其靠攏：上方的箭頭向下指，下方的箭頭向上指。在不穩定平衡點，情況則相反。對於 y' = y(1 − y)，y = 1 是穩定的，而 y = 0 是不穩定的 —— 您可以在邏輯預設中立即看到這一點。

陡峭區域與剛性（Stiffness）

紅色線段標記了 |f(x, y)| 較大的地方，解在那裡變化迅速。如果您的繪圖大部分被紅色佔據，則該方程在該區域是剛性的，任何數值積分器都需要極小的步長才能保持精確。

支援的輸入格式

1. 微分方程

任何可解析為包含 x 和 y 的有效數學表達式。常見範例：y - x, x*y, sin(x) - y, exp(-x^2) + y, y*(1-y)。插入符號 ^ 會自動轉換為 **。

2. 定義域

設定 x 和 y 範圍的四個數字。正方形區域能產生最易讀的圖表；如果某個軸過長，即使斜率值正確，切線段看起來也會失真。

3. 初始條件

以分號或換行符分隔的 x, y 對列表。每一對都會生成一條 RK4 解曲線。最多接受 8 個初始條件；繪圖後可點擊畫布互動式新增更多曲線。

如何使用此計算機

  1. 在表達式欄位中輸入 y' = f(x, y) 的右側內容，或選擇六個預設範例之一。
  2. 設定 x 和 y 範圍。 從感興趣行為周圍的正方形區域開始，然後通過縮小範圍重新提交來放大。
  3. 列出初始條件，以分號分隔的 x, y 對。您也可以留空，在繪圖後新增曲線。
  4. 點擊「繪製方向場」。 SVG 會立即顯示斜率線段、顏色編碼的大小以及您指定的解曲線。
  5. 互動： 在畫布上點擊或觸控以新增解曲線，懸停查看 (x, y, 斜率)，按下「播放流動動畫」查看粒子流動，或「儲存 SVG」進行匯出。

計算範例

以經典方程 y' = y − x 為例。零斜率線是直線 y = x，該處斜率為零。在此線上方，斜率為正（箭頭向上）；在此線下方，斜率為負（箭頭向下），因此每條解曲線在垂直方向上都會漸近地被推離 y = x。

y' = y − x → 零斜率線：y = x 通解：y = x + 1 + C·ex

繪圖器視覺化地證實了這種幾何結構：除了特解 y = x + 1 之外，所有軌跡都呈指數級發散，而顏色編碼將 y = x 線變成了一條明顯的藍色條帶，表示斜率趨於零。

常見應用場景

限制

此工具僅處理顯式一階 ODE —— 像 dy/dx = f(x, y), dz/dx = g(x, y, z) 這樣的系統需要相平面工具。隱式方程 F(x, y, y') = 0 在繪圖前必須重寫為 y' = f(x, y) 形式。在奇異點（f(x, y) 為無窮大或未定義處）附近，網格會變得稀疏，RK4 軌跡會乾淨地停止而不是強行外推。

常見問題

什麼是方向場（斜率場）？

方向場或斜率場是在 x-y 平面上定期排列的一組短線段。在每個點 (x, y) 處，線段的斜率等於 f(x, y)，即一階 ODE y' = f(x, y) 的右側。ODE 的解曲線必須在每一點都與線段相切，這讓您無需解析求解即可視覺化整個解族。

此工具如何繪製解曲線？

對於您提供的每個初始條件，工具會使用經典的四階龍格-庫塔法 (RK4) 以小步長對 ODE 進行數值積分。RK4 在每一步中評估四次斜率，並通過加權平均計算出精確度達到 O(h^4) 的軌跡。曲線會從起始點向前和向後追蹤，直到離開繪圖區域或斜率變為無窮大。

我可以在表達式中使用哪些函數？

您可以使用算術運算符 + - * / ^ 以及變量 x 和 y，加上三角函數 (sin, cos, tan, asin, acos, atan)、雙曲函數 (sinh, cosh, tanh)、指數和對數函數 (exp, ln, log, log10)、平方根 (sqrt)、絕對值 (abs) 以及常數 pi 和 e。有效的表達式範例包括 y - x, x*y, sin(x)*cos(y) 和 exp(-x^2) + y。

顏色代表什麼意思？

當選擇「依斜率大小著色」時，每個斜率線段會根據該點斜率的大小使用對數比例著色。藍色表示小斜率（趨於水平流動），紅色表示大斜率（趨於垂直流動）。這能讓您一目了然地發現平衡線、剛性區域和吸引子等特徵。

什麼是零斜率線（Nullcline），為什麼它很重要？

零斜率線是 f(x, y) = 0 的點集，因此斜率場沿著零斜率線是水平的。在自治 ODE 中，零斜率線通常包含平衡解；在非自治方程中，它們標記了解的轉折點。當開啟斜率著色時，工具會用趨於水平的藍色線段突出顯示這些區域。

我可以在行動裝置上使用此工具嗎？

是的。版面會自動適應小螢幕，且 SVG 繪圖支援觸控事件，因此您可以點擊畫布上的任何位置來新增解曲線。所有計算都在伺服器端完成，因此該工具在手機、平板和電腦上的運作方式完全相同。

延伸閱讀

引用此內容、頁面或工具為：

"方向場斜率場繪圖器" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/方向場斜率場繪圖器/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊開發。更新日期：2026年4月22日

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