向量计算器

向量计算器

欢迎使用我们的向量计算器，这是一个提供详细分步解法的向量运算综合工具。无论您是学习线性代数的学生，还是处理力和速度的工程师，或者任何需要计算向量数学的人，此计算器都能提供准确的结果和清晰的解释。

什么是向量？

向量是既有大小（长度）又有方向的数学对象。向量通常表示为一组有序的数字，称为分量。例如，一个 3D 向量可以写成 [3, 4, 5]，表示沿 x 轴移动 3 个单位，沿 y 轴移动 4 个单位，以及沿 z 轴移动 5 个单位。

向量在物理学（表示力、速度、加速度）、计算机图形学（3D 变换、光照）、机器学习（特征向量、嵌入）以及许多其他领域都是基础性的工具。

支持的向量运算

模（长度）

向量的模，也称为长度或范数，测量向量的长度。对于向量 A = [a, b, c]：

单位向量

单位向量的模为 1，且与原向量方向相同。其计算方法是将每个分量除以模：

点积（标量积）

两个向量的点积产生一个标量（单个数字）。它衡量一个向量在另一个向量方向上的分量大小：

关键属性：如果点积为零，则向量相互垂直。正值表示它们指向相似的方向；负值表示方向相反。

叉积（向量积）

两个 3D 向量的叉积会产生一个垂直于两个输入向量的新向量。其模等于由这两个向量构成的平行四边形的面积：

向量加法和减法

向量加法通过将对应分量相加来合并向量。减法则用于计算差异：

向量间夹角

两个向量之间的夹角是通过点积与模之间的关系找到的：

向量投影

向量 A 在向量 B 上的投影给出了 A 在 B 方向上的分量：

标量乘法

标量乘法将向量的每个分量乘以一个数字，从而缩放向量：

运算总结表

如何使用此计算器

1. 输入向量 A： 输入第一个向量的分量，用逗号分隔（例如：3, 4, 0）。
2. 输入向量 B（如有需要）： 对于双向量运算，请输入第二个向量。
3. 选择运算： 从下拉菜单中选择要执行的计算。
4. 设置精度： 选择结果中保留的小数位数。
5. 计算： 点击按钮查看带有分步解释的结果。

常见问题

什么是点积？

点积（也称为标量积或内积）是将两个向量 A 和 B 的对应分量相乘并求和得到的标量值：A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。它等于 |A||B|cos(θ)，其中 θ 是向量之间的夹角。点积为零意味着向量相互垂直。

什么是叉积？

两个 3D 向量 A 和 B 的叉积（也称为向量积）会产生一个垂直于这两个输入向量的新向量。计算公式为 A×B = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁)。其模 |A×B| 等于由 A 和 B 构成的平行四边形的面积。

如何计算向量长度？

向量长度（模）使用欧几里得范数计算：对于 3D 向量，|A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)。该公式通过对所有分量的平方求和并开方，可以扩展到任何维度。

什么是单位向量？

单位向量是模为 1 且与原向量方向相同的向量。计算方法是将每个分量除以向量的模：Â = A/|A|。单位向量在表示不带大小的方向时非常有用。

如何找到两个向量之间的夹角？

向量 A 和 B 之间的夹角 θ 可以通过点积公式找到：cos(θ) = (A·B)/(|A||B|)。取该值的反余弦 (arccos) 得到以弧度为单位的角，如果需要，乘以 180/π 转换为角度。

什么是向量投影？

向量 A 在向量 B 上的投影给出了 A 在 B 方向上的分量。公式为 proj_B(A) = ((A·B)/(B·B)) × B。标量投影（分量）为 (A·B)/|B|。这在物理学中用于分解力和速度。

向量数学的应用

• 物理学： 表示力、速度、加速度、电场和磁场
• 计算机图形学： 3D 变换、光照计算、光线追踪
• 工程学： 结构分析、流体动力学、机器人学
• 机器学习： 特征向量、词嵌入、相似度测量
• 游戏开发： 角色移动、碰撞检测、物理模拟
• 导航： GPS 计算、飞行路径、航海航线

额外资源

• 向量（数学和物理）- 维基百科
• 向量和空间 - 可汗学院
• 点积 - 维基百科
• 叉积 - 维基百科

其他相关工具:

线性代数:

• 行列式计算器
• 特征值和特征向量计算器
• 矩阵计算器
• 部分分式分解计算器
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