เครื่องสร้างลายเทสเซลเลชัน

เครื่องสร้างลายเทสเซลเลชัน ช่วยสร้างรูปแบบเรขาคณิตที่ไม่มีช่องว่าง ซึ่งมีรูปทรงหนึ่งรูปทรงหรือมากกว่ามาประกอบเข้าด้วยกันเพื่อปกคลุมพื้นผิว โดยไม่มีการซ้อนทับและไม่มีรูโหว่ เลือกตระกูลแผ่นกระเบื้อง (สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, หกเหลี่ยม, สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ประกอบกันเป็นลูกบาศก์ 3 มิติ, แปดเหลี่ยมพร้อมสี่เหลี่ยมที่มุม หรือลายอิฐแบบก่อสลับ) ใช้จานสีที่คัดสรรมาแล้ว และเลือกเปลี่ยนขอบตรงทุกด้านให้เป็นเส้นโค้งประกบกันสไตล์ Escher ได้ตามต้องการ ส่งออกเป็น SVG สำหรับการพิมพ์ การตัดด้วยเลเซอร์ และการแก้ไขเวกเตอร์ หรือเป็น PNG สำหรับสไลด์และโพสต์บนโซเชียล เครื่องมือนี้สร้างขึ้นสำหรับศิลปิน นักออกแบบ ครูสอนคณิตศาสตร์ นักเรียน นักเย็บผ้าต่อผ้า และใครก็ตามที่สนใจสำรวจเรื่องสมมาตรและลวดลาย

วิธีอ่านค่าเทสเซลเลชัน

สิ่งที่ทำให้เครื่องสร้างลายเทสเซลเลชันนี้แตกต่าง

เทสเซลเลชันปกติสามแบบ

เทสเซลเลชันแบบ ปกติ (regular) จะใช้รูปเหลี่ยมปกติเพียงประเภทเดียวเท่านั้นโดยที่มุมทั้งหมดเหมือนกัน น่าประหลาดใจที่มีรูปเหลี่ยมปกติเพียงสามชนิดเท่านั้นที่สามารถทำเช่นนี้ได้ด้วยตัวเอง:

• สามเหลี่ยมด้านเท่า (3.3.3.3.3.3): สามเหลี่ยมหกรูปมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด มุมภายใน 60° × 6 = 360° เป็นการปูกระเบื้องที่หนาแน่นและแข็งเกร็งที่สุด
• สี่เหลี่ยมจัตุรัส (4.4.4.4): สี่เหลี่ยมสี่รูปมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด 90° × 4 = 360° เป็นพื้นฐานของทุกตารางพิกัด
• หกเหลี่ยมปกติ (6.6.6): หกเหลี่ยมสามรูปมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด 120° × 3 = 360° สิ่งที่ธรรมชาติโปรดปราน (รังผึ้ง, โฟมสบู่, เสาหินบะซอลต์)

รูปเหลี่ยมปกติอื่นๆ — ห้าเหลี่ยม, เจ็ดเหลี่ยม, แปดเหลี่ยม — จะล้มเหลวเพราะมุมภายในของมันไม่สามารถหาร 360° ได้ลงตัว นั่นคือเหตุผลที่รูปห้าเหลี่ยมเพียงอย่างเดียวไม่สามารถปูพื้นผิวระนาบเรียบได้ (แม้ว่ารูปห้าเหลี่ยมไม่ปกติจะทำได้ก็ตาม!)

เทสเซลเลชันกึ่งปกติ (Archimedean)

หากคุณอนุญาตให้ใช้รูปเหลี่ยมปกติมากกว่าหนึ่งชนิดในขณะที่รักษาให้ทุกจุดยอดเหมือนกันทุกประการ คุณจะได้การปูกระเบื้องกึ่งปกติแปดแบบ — ค้นพบโดย Johannes Kepler ในปี 1619 เครื่องสร้างลายนี้มีแบบที่ได้รับความนิยมมากที่สุดแบบหนึ่งมาให้ด้วย นั่นคือ **สี่เหลี่ยมจัตุรัสตัดมุม 4.8.8** ซึ่งทำจากรูปแปดเหลี่ยมปกติโดยมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหมุนขนาดเล็กเติมเต็มช่องว่างที่มุม มันปรากฏในพื้นโมเสกของโรมัน, ศิลปะเรขาคณิตอิสลาม, กระเบื้องห้องน้ำสมัยใหม่ และรูปแบบผ้าห่มนวมนับไม่ถ้วน

ภาพลวงตาลูกบาศก์ (ชุดย่อย Rhombille)

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 60° สามรูปที่แชร์จุดยอดศูนย์กลางร่วมกันจะก่อตัวเป็นโครงร่างหกเหลี่ยมปกติ เมื่อระบายสีสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแต่ละรูปด้วยโทนสีที่ต่างกัน — สีอ่อนสำหรับด้าน "บน", สีกลางสำหรับด้าน "ขวา", สีเข้มสำหรับด้าน "ซ้าย" — สายตาจะอ่านค่าทั้งสามนี้เป็นด้านที่มองเห็นได้ของลูกบาศก์ไอโซเมตริก เมื่อปูกระเบื้องบนพื้นผิวในลักษณะนี้ คุณจะได้ผนังของลูกบาศก์ที่วางซ้อนกัน รูปแบบนี้ย้อนกลับไปได้ถึงงานโมเสกของโรมัน ปรากฏในผลงานมากมายของ Escher และเป็นภาพลวงตาเดียวกันกับที่อยู่เบื้องหลัง "บันไดที่เป็นไปไม่ได้" ในศิลปะลวงตา

ขอบหยักของ Escher ทำงานอย่างไรในความเป็นจริง

การปูกระเบื้องที่มีชื่อเสียงที่สุดของ M.C. Escher (Sky and Water I, Reptiles, Day and Night) เริ่มต้นจากรูปหหกเหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ จากนั้นจึงปรับเปลี่ยนรูปทรงของขอบ ทริคคือ: ทุกๆ รูปทรงที่ขอบนูนออกจากกระเบื้องแผ่นหนึ่ง จะต้องจับคู่กับรูปทรงที่เหมือนกันทุกประการที่เว้าเข้าไปในกระเบื้องแผ่นที่อยู่ติดกัน ในทางคณิตศาสตร์ ขอบจะกลายเป็นเส้นโค้ง แต่เบื้องหลังแล้วเส้นโค้งเดียวกันนี้ถูกใช้โดยกระเบื้องทั้งสองแผ่นที่อยู่ติดกัน พวกมันจึงยังคงเรียงต่อกันเป็นเทสเซลเลชันได้

เครื่องมือนี้นำทริคดังกล่าวมาใช้ในรูปแบบอัลกอริทึม สำหรับทุกๆ ขอบที่แชร์ร่วมกัน จุดควบคุมของเส้นโค้งเบซิเยร์แบบกำลังสองจะถูกคำนวณจากคู่จุดสิ้นสุดที่จัดระเบียบ (ตามรูปแบบบัญญัติ) — ดังนั้นเมื่อกระเบื้อง A วิ่งผ่านขอบ P→Q และกระเบื้อง B วิ่งผ่าน Q→P ทั้งสองจะคำนวณได้จุดควบคุมที่ *เหมือนกันทุกประการ* และแสดงผลเป็นเส้นโค้ง *เดียวกัน* ผลลัพธ์ที่ได้คือการประกบกันที่สมบูรณ์แบบโดยไม่ต้องกังวลเรื่องคณิตศาสตร์

เทสเซลเลชันปรากฏให้เห็นที่ไหนบ้าง

• สถาปัตยกรรมและการออกแบบ: พื้นห้องน้ำ, เครื่องประดับเรขาคณิตอิสลาม (อาลัมบรา), กระจกสีโกธิค, พื้นปาร์เกต์, วอลเปเปอร์สมัยใหม่
• ธรรมชาติ: รังผึ้งของผึ้ง, โฟมฟองสบู่, เสาหินบะซอลต์ที่ทางเดินยักษ์ (Giant's Causeway), รอยแตกของโคลนแห้ง, กระดองเต่า, เปลือกสับปะรด
• ศิลปะ: รูปกิ้งก่า ปลา และนกของ M.C. Escher; งานโอปุส เรติคูลาตุม (opus reticulatum) ของโรมัน; การปูกระเบื้องเพนโรส (Penrose tilings); งานโมเสกโมร็อกโก (Marrakech zellige)
• อุตสาหกรรม: ตารางหกเหลี่ยมในการออกแบบด่านเกม; รูปแบบผ้าห่มนวมและสิ่งทอ; แผงโลหะตัดด้วยเลเซอร์; เค้าโครงจอแสดงผล LED
• คณิตศาสตร์: ประตูสู่กลุ่มสมมาตร, เรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก, ควอซีคริสตัล (Penrose) และการสาธิตทฤษฎีบทสี่สี

คำถามทั่วไปเกี่ยวกับเทสเซลเลชัน

• รูปห้าเหลี่ยมสามารถปูพื้นผิวระนาบได้หรือไม่? รูปห้าเหลี่ยมปกติไม่สามารถทำได้ แต่มีตระกูลของรูปห้าเหลียมนูนไม่ปกติอย่างน้อย 15 ตระกูลที่ทำได้ — ซึ่งตระกูลล่าสุดเพิ่งถูกค้นพบไปเมื่อปี 2015 นี้เอง
• วงกลมสามารถปูพื้นผิวระนาบได้หรือไม่? ไม่ได้ วงกลมจะเหลือช่องว่างไว้เสมอ (เรียกว่าช่องว่างระหว่างชิ้น) ไม่ว่าคุณจะจัดวางมันให้แน่นหนาเพียงใด การจัดวางที่หนาแน่นที่สุดจะเหลือพื้นที่ว่างประมาณ 10% (9.3%)
• ทำไมรังผึ้งถึงเป็นรูปหกเหลี่ยม? ในทางคณิตศาสตร์ ท่ามกลางการปูกระเบื้องแบบปกติทั้งหมด รูปหกเหลี่ยมจะล้อมรอบพื้นที่ได้มากที่สุดโดยมีเส้นรอบรูปน้อยที่สุดต่อแผ่นกระเบื้อง — ข้อคาดการณ์รังผึ้ง (Honeycomb Conjecture) นี้ได้รับการพิสูจน์โดย Thomas Hales ในปี 1999
• รองรับการปูกระเบื้องเพนโรส (Penrose tilings) หรือไม่? ยังไม่รองรับในขณะนี้ การปูกระเบื้องเพนโรสเป็นแบบไม่เป็นคาบ (ไม่มีวันซ้ำเดิมอย่างสมบูรณ์) ซึ่งต้องใช้คณิตศาสตร์ที่แตกต่างออกไป โปรดติดตามการอัปเดตในอนาคต

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)