เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน

คำนวณปริมาตรของรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนโดยใช้วิธีแบบจาน แบบแหวน และแบบเปลือกทรงกระบอก ป้อนฟังก์ชัน ขอบเขต และแกนหมุนของคุณเพื่อรับวิธีแก้ปัญหาแบบทีละขั้นตอนพร้อมการแสดงภาพ 3 มิติแบบโต้ตอบ

ลองเลย:

⊚ Disk π∫[f(x)]² dx ◎ Washer π∫[R²−r²] dx ◌ Shell 2π∫x·f(x) dx

ตัวอย่างเส้นโค้ง

📐 ฟังก์ชัน

f(x) — ฟังก์ชันหลัก / ภายนอก

รองรับ: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e

g(x) — ฟังก์ชันภายใน (สำหรับวิธี washer)

พื้นที่ระหว่าง f(x) และ g(x) จะถูกหมุน

📏 ขอบเขตการอินทิเกรต

ขอบเขตล่าง (a)

ขอบเขตบน (b)

🔄 แกนหมุน

แกน

ค่าของแกน

y = k (disk/washer) หรือ x = k (shell)

Embed เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน

เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน จะคำนวณปริมาตรของรูปทรงสามมิติที่เกิดจากการหมุนพื้นที่สองมิติรอบแกนหมุน นี่เป็นหนึ่งในการประยุกต์ใช้ที่สำคัญที่สุดของแคลคูลัสการอินทิเกรต ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านวิศวกรรม ฟิสิกส์ และการผลิตเพื่อหาปริมาตรของวัตถุที่มีความสมมาตรของการหมุน ตั้งแต่กระบอกสูบเครื่องยนต์ไปจนถึงจานดาวเทียม

สามวิธีการคำนวณ

⊚

วิธี Disk

การวางแผ่นวงกลมที่บางมากซ้อนกันในแนวตั้งฉากกับแกนหมุน เหมาะสำหรับเส้นโค้งเดี่ยวที่หมุนรอบแกน x: \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \)

◎

วิธี Washer

เหมือนกับวิธี Disk แต่มีรูตรงกลาง สำหรับพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น: \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \)

◌

วิธี Shell

การห่อหุ้มเปลือกทรงกระบอกรอบแกนหมุน เหมาะสำหรับการหมุนรอบแกน y: \( V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx \)

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน

เลือกวิธีการ — เลือก Disk, Washer หรือ Shell ขึ้นอยู่กับโจทย์ของคุณ
ป้อนฟังก์ชัน — พิมพ์ฟังก์ชัน f(x) ของคุณโดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน (เช่น x^2, sqrt(x), sin(x)) สำหรับวิธี Washer ให้ป้อนฟังก์ชันภายใน g(x) ด้วย
กำหนดขอบเขต — ป้อนขอบเขตล่าง (a) และขอบเขตบน (b) ของการอินทิเกรต
เลือกแกนหมุน — เลือกจากแกน x, แกน y หรือป้อนค่าแกนที่กำหนดเอง
คลิก คำนวณปริมาตร — ดูผลลัพธ์พร้อมสูตร MathJax ทีละขั้นตอน การแสดงภาพ 3 มิติแบบโต้ตอบ และการเปรียบเทียบทั้งสามวิธี

ควรใช้วิธีใดเมื่อใด

สถานการณ์	วิธีที่เหมาะสมที่สุด	เหตุผล
เส้นโค้งเดี่ยวหมุนรอบแกน x	Disk	ตั้งค่าง่ายที่สุด — ต้องการเพียง f(x)
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น หมุนรอบแกน x	Washer	จัดการรัศมีภายนอกและภายในได้โดยตรง
เส้นโค้งหมุนรอบแกน y	Shell	หลีกเลี่ยงการหาอินเวอร์สของ f(x) เพื่อแสดง x ในรูปของ y
ฟังก์ชันยากต่อการหาอินเวอร์ส	Shell	ไม่จำเป็นต้องแก้สมการหา x ในเทอมของ y
แกนหมุนเป็นแนวนอน	Disk/Washer	แผ่นวงกลมจะตั้งฉากกับแกนแนวนอน
แกนหมุนเป็นแนวตั้ง	Shell	เปลือกทรงกระบอกจะล้อมรอบแกนแนวตั้งอย่างเป็นธรรมชาติ

ตัวอย่างที่พบบ่อย

รูปทรง	ฟังก์ชัน	ขอบเขต	ปริมาตร
กรวย	f(x) = x	[0, r]	\( \frac{1}{3}\pi r^3 \)
ทรงกลม	f(x) = √(r² − x²)	[−r, r]	\( \frac{4}{3}\pi r^3 \)
พาราโบลอยด์	f(x) = √x	[0, h]	\( \frac{1}{2}\pi h^2 \)
ทอรัส (วงแหวน)	Washer พร้อมแกนออฟเซ็ต	วงกลม	\( 2\pi^2 R r^2 \)

ฟังก์ชันที่รองรับ

เครื่องคำนวณนี้ยอมรับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย:

พหุนาม: x^2, x^3 + 2x, 3x^2 - x + 1
ตรีโกณมิติ: sin(x), cos(x), tan(x)
ตรีโกณมิติผกผัน: asin(x), acos(x), atan(x)
เอกซ์โพเนนเชียล/ลอการิทึม: exp(x), ln(x), log(x)
ราก: sqrt(x)
ค่าคงที่: pi, e
การผสมผสาน: x^2 * sin(x), sqrt(x) + 1

คำถามที่พบบ่อย

ปริมาตรของการหมุนคืออะไร?

ปริมาตรของการหมุน (หรือรูปทรงแข็งของการหมุน) คือปริมาตรของวัตถุ 3 มิติที่สร้างขึ้นโดยการหมุนเส้นโค้งหรือพื้นที่ 2 มิติรอบแกนหมุน คำนวณโดยใช้แคลคูลัสการอินทิเกรตด้วยวิธี Disk, Washer หรือ Shell ตัวอย่างในโลกแห่งความเป็นจริงที่พบบ่อย ได้แก่ ขวด, ชาม, แจกัน และลูกสูบเครื่องยนต์

ควรใช้วิธี Disk เทียบกับวิธี Shell เมื่อใด?

ใช้วิธี Disk เมื่อแกนหมุนตั้งฉากกับตัวแปรของการอินทิเกรต (โดยทั่วไปคือการหมุนรอบแกน x ด้วยฟังก์ชันของ x) ใช้วิธี Shell เมื่อแกนหมุนขนานกับตัวแปรของการอินทิเกรต (โดยทั่วไปคือการหมุนรอบแกน y ด้วยฟังก์ชันของ x) วิธี Shell มักจะง่ายกว่าเมื่อฟังก์ชันยากต่อการหาอินเวอร์ส

วิธี Washer คืออะไร?

วิธี Washer เป็นส่วนขยายของวิธี Disk สำหรับพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งสองเส้น โดยจะลบปริมาตรของรูปทรงภายในออกจากรูปทรงภายนอกโดยใช้สูตร \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \) โดยที่ R(x) คือรัศมีภายนอก และ r(x) คือรัศมีภายใน

จะเลือกแกนหมุนได้อย่างไร?

แกนที่พบบ่อยที่สุดคือแกน x (y = 0) และแกน y (x = 0) คุณยังสามารถหมุนรอบเส้นแนวนอน y = k หรือเส้นแนวตั้ง x = k ได้ด้วย การเลือกแกนจะมีผลต่อการเลือกวิธีที่สะดวกที่สุดและเปลี่ยนนิพจน์ของรัศมีในอินทิกรัล

เครื่องคำนวณนี้รองรับฟังก์ชันใดบ้าง?

เครื่องคำนวณนี้รองรับพหุนาม (x^2, x^3), ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin, cos, tan), ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม (exp, ln, log), รากที่สอง (sqrt) และการรวมกันด้วยตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน ใช้ x เป็นตัวแปร

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-04

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.