역함수 계산기

역함수 계산기 정보

무료 온라인 도구인 역함수 계산기에 오신 것을 환영합니다. 이 계산기는 단계별 자세한 설명과 함께 함수의 역함수를 구하는 과정을 도와줍니다. 역함수에 대해 배우는 학생이든, 미적분학을 준비하는 분이든, 예제를 만드는 선생님이든, 이 계산기는 대수적 풀이 과정을 명확하게 설명해 드립니다.

역함수란 무엇인가요?

역함수는 $f^{-1}(x)$로 표기하며, 원래 함수 $f(x)$의 연산을 반대로 수행합니다. 만약 $f(a) = b$라면, $f^{-1}(b) = a$가 됩니다. 즉, 역함수는 원래 함수가 한 일을 "되돌리는(undo)" 역할을 합니다.

역함수의 주요 성질은 다음과 같습니다:

• 합성 성질: $f(f^{-1}(x)) = x$ 그리고 $f^{-1}(f(x)) = x$
• 그래프 관계: $f^{-1}(x)$의 그래프는 직선 $y = x$에 대해 $f(x)$와 대칭입니다.
• 정의역-치역 교환: $f$의 정의역은 $f^{-1}$의 치역이 되며, 그 반대도 성립합니다.

함수의 역함수를 구하는 방법

다음 단계를 따라 대수적으로 역함수를 구할 수 있습니다:

1단계: f(x)를 y로 바꾸기

함수를 $y = f(x)$ 형태로 쓰는 것으로 시작합니다. 이렇게 하면 대수적으로 식을 조작하기가 더 쉬워집니다.

2단계: x와 y 서로 바꾸기

방정식에서 변수 x와 y를 서로 교체합니다. 이것은 입력과 출력의 관계를 반전시킵니다.

3단계: y에 대해 풀기

대수적 기법을 사용하여 방정식의 한 변에 y만 남도록 정리합니다. 이 과정이 가장 까다로운 단계일 수 있습니다.

4단계: 함수 표기법으로 쓰기

역함수를 올바르게 표현하기 위해 y를 $f^{-1}(x)$로 바꿉니다.

5단계: 검증 (선택 사항)

$f(f^{-1}(x)) = x$가 성립하는지 확인하여 답을 검증합니다.

일반적인 역함수 목록

함수가 역함수를 갖는 조건은?

모든 함수에 역함수가 존재하는 것은 아닙니다. 함수가 일대일(one-to-one) 함수(또는 단사 함수)일 때만 역함수를 갖습니다. 이는 각 출력값이 정확히 하나의 입력값에만 대응된다는 것을 의미합니다.

수평선 판정법

어떤 수평선도 함수의 그래프와 두 번 이상 만나지 않는다면, 그 함수는 수평선 판정법을 통과한 것입니다. 이 판정법을 통과하면 역함수를 갖습니다.

• 일차 함수(기울기가 0이 아닌 경우)는 항상 일대일 함수입니다.
• 이차 함수는 모든 실수 범위에서는 일대일 함수가 아닙니다(수평선 판정법을 통과하지 못함).
• 순증가 또는 순감소 함수(항상 증가하거나 항상 감소하는 함수)는 일대일 함수입니다.

정의역 제한하기

함수가 일대일 함수가 아닐 때, 정의역을 제한하여 일대일 함수로 만들 수 있습니다. 예를 들어:

• $f(x) = x^2$은 일대일 함수가 아니지만, $x \geq 0$인 범위로 제한한 $f(x) = x^2$은 일대일 함수이며, 역함수는 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$입니다.
• $f(x) = \sin(x)$는 일대일 함수가 아니지만, $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ 범위로 제한하면 일대일 함수가 되며, 역함수는 $f^{-1}(x) = \arcsin(x)$입니다.

예제

예제 1: 일차 함수

$f(x) = 3x - 5$의 역함수 구하기

풀이:

1. $y = 3x - 5$로 씁니다.
2. x와 y 교체: $x = 3y - 5$
3. y에 대해 풀기: $x + 5 = 3y$, 따라서 $y = \frac{x + 5}{3}$
4. 그러므로, $f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$

예제 2: 유리 함수

$f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$의 역함수 구하기

풀이:

1. $y = \frac{x - 1}{x + 2}$로 씁니다.
2. x와 y 교체: $x = \frac{y - 1}{y + 2}$
3. 풀기: $x(y + 2) = y - 1$, 전개하면 $xy + 2x = y - 1$
4. 항 정리: $xy - y = -1 - 2x$, 묶으면 $y(x - 1) = -2x - 1$
5. 그러므로, $f^{-1}(x) = \frac{-2x - 1}{x - 1} = \frac{2x + 1}{1 - x}$

계산기 사용 팁

• 변수로 x를 사용하여 함수를 입력하세요.
• 곱셈에는 *를 사용하세요 (예: 2x 대신 2*x).
• 거듭제곱에는 ^ 또는 **를 사용하세요 (예: x^2 또는 x**2).
• 제곱근에는 sqrt(x)를 사용하세요.
• 자연 로그에는 log(x)를 사용하세요.
• 지수 함수에는 exp(x) 또는 e^x를 사용하세요.

자주 묻는 질문 (FAQ)

f^(-1)(x)에서 -1은 무엇을 의미하나요?

$f^{-1}(x)$에서 -1은 지수가 아닙니다. 이것은 역함수를 나타내는 표기법입니다. f(x)의 역수(reciprocal)인 $\frac{1}{f(x)}$와 혼동해서는 안 됩니다.

모든 함수의 역함수를 구할 수 있나요?

모든 함수에 역함수가 있는 것은 아닙니다. 오직 일대일 함수만 역함수를 가집니다. 만약 함수가 수평선 판정법을 통과하지 못하면 전체 정의역에서는 역함수가 없지만, 정의역을 제한하여 역함수가 존재하는 함수로 만들 수는 있습니다.

구한 역함수가 맞는지 어떻게 확인하나요?

검증하려면 $f(f^{-1}(x)) = x$ 그리고 $f^{-1}(f(x)) = x$가 모두 성립하는지 확인하세요. 두 합성 함수가 모두 x와 같다면 구한 역함수가 올바른 것입니다.

추가 자료

역함수에 대해 더 알아보기:

• Inverse Function - Wikipedia (영어)
• Inverse Functions - Khan Academy (영어)
• Inverse Function - Wolfram MathWorld (영어)

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