発散計算機

段階的な偏微分で任意の2Dまたは3Dベクトル場の発散を計算します。成分関数を入力すると記号的な発散が得られ、任意の点で評価し、湧き出し・吸い込みを特定し、ヒートマップも表示できます。

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発散計算機

この発散計算機は、2Dまたは3Dのベクトル場の発散 ∇·F を計算し、詳細な偏微分の計算過程をステップごとに表示します。ベクトル場の成分 P、Q（3Dの場合は R も）を入力し、必要に応じて特定の評価点を指定すると、記号的な発散、湧き出し/吸い込みの分類を取得できます。2D場の場合は、発散ヒートマップと粒子の流れをアニメーション化したインタラクティブな可視化も提供されます。

発散とは何か？

ベクトル場 $\mathbf{F}$ の発散（Divergence）は、ある点から場がどの程度の割合で「広がっているか」を測定するスカラー値の演算子です。3Dベクトル場 $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ の場合：

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

2D場 $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ の場合、発散は $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$ となります。発散はベクトル解析、流体力学、電磁気学、および微分方程式における基本的な概念です。

発散の物理的な意味

🔴

湧き出し (∇·F > 0)

流体が外側へ流れている — 流入よりも流出が多い。泉から水が湧き出ているような状態。

🔵

吸い込み (∇·F < 0)

流体が内側へ流れている — 流出よりも流入が多い。穴に水が吸い込まれているような状態。

🟢

ゼロ (∇·F = 0)

非圧縮性流体 — 流入量と流出量が等しい。この場は管状（ソレノイダル）である。

🔄

ガウスの発散定理

領域内部の全発散量は、その境界表面を通る正味のフラックスに等しい。

発散の公式と座標系

座標系	発散の公式
デカルト 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
デカルト 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
円筒座標系	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
球座標系	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

発散に関する重要な恒等式

名称	公式
線形性	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
積の微分 (スカラー × ベクトル)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
回転の散度	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (常に)
ラプラス演算子	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$ (勾配の発散 = ラプラシアン)
発散定理	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

発散の応用

分野	応用	発散が表すもの
電磁気学	ガウスの法則	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — 電荷密度が電場の発散を生む
電磁気学	磁場	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — 磁気単極子（モノポール）は存在しない
流体力学	連続の式	非圧縮性流体において $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$
熱伝導	熱伝導方程式	熱フラックスの発散が温度変化に関連する
一般相対性理論	アインシュタイン方程式	エネルギー・運動量テンソルの発散ゼロ条件

発散計算機の使い方

次元を選択する: 切替ボタンを使用して、F = ⟨P, Q⟩ の2D、または F = ⟨P, Q, R⟩ の3Dを選択します。
成分関数を入力する: 標準的な記法を使用して、各成分関数（P, Q、および必要に応じて R）を入力します。指数には ^、乗算には * を使用し、sin(x)、cos(y)、exp(x)、ln(x)、sqrt(x) などの関数が使えます。2x（2*x）のような暗黙の乗算もサポートされています。
評価点を入力する (任意): カンマ区切りの座標を入力すると、その点での発散を数値的に計算し、湧き出し、吸い込み、または非圧縮性に分類します。
「発散 ∇·F を計算」をクリック: 記号的な発散公式、ステップごとの偏微分計算、数値評価、および分類結果が表示されます。
可視化を確認する: 2D場の場合、ベクトル場の矢印、色分けされた発散ヒートマップ（赤 = 湧き出し、青 = 吸い込み）、および場の挙動を示す粒子アニメーションを確認できます。

計算例

点 $(1, 1)$ におけるベクトル場 $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$ の発散を求めます。

ステップ 1: 成分を特定する: $P = x$、$Q = y$。

ステップ 2: 偏導関数を計算する: $\frac{\partial P}{\partial x} = 1$、$\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$。

ステップ 3: それらを合計する: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$。

解釈: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$ であるため、すべての点が湧き出しとなります。この場は一様に外側へ広がっています。平面上のあらゆる場所から流体が汲み出されている様子をイメージしてください。

よくある質問 (FAQ)

ベクトル場の発散とは何ですか？

発散（Divergence）は、与えられた点においてベクトル場が拡大または収縮する割合を測定するスカラー値の微分演算子です。3D場 F = (P, Q, R) の場合、発散は偏導関数の和：∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z です。正の発散は湧き出し（外向きの流れ）、負の発散は吸い込み（内向きの流れ）、ゼロは非圧縮性の流れを意味します。

発散はどのように計算しますか？

発散を計算するには、各成分関数を対応する変数で偏微分し、それらをすべて合計します。2D場 F = (P, Q) の場合は ∂P/∂x + ∂Q/∂y を計算します。3Dの場合は ∂R/∂z を加えます。結果はスカラー関数（ベクトルではない）となり、各点において場がどれだけ膨張または圧縮しているかを示します。

発散がゼロであることは何を意味しますか？

すべての場所で発散がゼロである場合、そのベクトル場は管状（ソレノイダル）または発散のない場と呼ばれます。流体力学では、これは流体が非圧縮性であることを意味し、どの点においても正味の拡大や収縮がないことを示します。磁場は常に発散がゼロ（ガウスの磁性法則：∇·B = 0）であり、また任意のベクトル場の回転は常に発散がゼロ（∇·(∇×F) = 0）になります。

発散の物理的な意味は何ですか？

物理的には、発散はある点における単位体積あたりの正味の外向きのフラックス（湧出量）を測定します。流体の中の小さな箱を想像してください。流入するよりも多くの流体が箱から出ていく場合、発散は正（湧き出し）です。出ていくよりも多くの流体が入ってくる場合は負（吸い込み）です。この概念は物理学の保存則において中心的な役割を果たし、連続の式、マクスウェル方程式、熱伝導方程式などに登場します。

発散と回転の違いは何ですか？

発散と回転（Curl）はどちらもベクトル場に対する微分演算子ですが、測定する対象が異なります。発散 (∇·F) は拡大や収縮を測定し、スカラー値を生成します。回転 (∇×F) は回転や循環を測定し、ベクトル値を生成します。場は、発散がゼロでなく回転がゼロである場合（例：F = (x, y)）や、発散がゼロで回転がゼロでない場合（例：F = (−y, x)）、あるいはその両方、またはどちらでもない場合があります。

このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合：

"発散計算機"（https://MiniWebtool.com/ja/発散計算機/）、MiniWebtool、https://MiniWebtool.com/

by miniwebtool チーム. 更新日: 2026-04-08

開発者向け API が利用できます: このツールをアプリ、自動化、エージェントから 1 回の JSON HTTP リクエストで実行できます。 API ドキュメントを見る

また、AI 数学ソルバー GPT を使って、自然言語による質問と回答で数学の問題を解決することもできます。

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発散とは何か？

発散の物理的な意味

発散の公式と座標系

発散に関する重要な恒等式

発散の応用

発散計算機の使い方

計算例

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座標系	発散の公式
デカルト 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
デカルト 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
円筒座標系	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
球座標系	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

名称	公式
線形性	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
積の微分 (スカラー × ベクトル)	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
回転の散度	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (常に)
ラプラス演算子	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (勾配の発散 = ラプラシアン)
発散定理	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

分野	応用	発散が表すもの
電磁気学	ガウスの法則	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — 電荷密度が電場の発散を生む
電磁気学	磁場	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — 磁気単極子（モノポール）は存在しない
流体力学	連続の式	非圧縮性流体において \(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\)
熱伝導	熱伝導方程式	熱フラックスの発散が温度変化に関連する
一般相対性理論	アインシュタイン方程式	エネルギー・運動量テンソルの発散ゼロ条件