Risolutore di Equazione Cubica

Risolutore di Equazione Cubica

Il Risolutore di Equazione Cubica trova tutte e tre le radici di qualsiasi equazione cubica nella forma ax³ + bx² + cx + d = 0. Inserisci i quattro coefficienti e ottieni risultati istantanei con una soluzione passo dopo passo utilizzando il metodo di Cardano, l'analisi del discriminante, la forma fattorizzata, le relazioni di Viète e un grafico interattivo.

Come usare il Risolutore di Equazione Cubica

1. Inserisci i coefficienti: Digita i valori di a, b, c e d per la tua equazione cubica ax³ + bx² + cx + d = 0. Il coefficiente a non deve essere zero.
2. Clicca su "Risolvi Equazione Cubica" per calcolare tutte e tre le radici.
3. Visualizza le radici: Ogni radice è visualizzata con un'etichetta che indica se è reale o complessa. Le radici reali appaiono in schede verdi, le radici complesse in blu.
4. Studia la soluzione passo dopo passo: Segui l'intera derivazione con il metodo di Cardano, inclusa la trasformazione in cubica ridotta, il calcolo del discriminante e l'estrazione delle radici.
5. Esplora il grafico: Guarda la funzione cubica tracciata con le radici reali evidenziate in verde e il punto di flesso in arancione.

Cos'è un'equazione cubica?

Un'equazione cubica è un'equazione polinomiale di terzo grado:

\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)

dove \(a \neq 0\). Secondo il Teorema Fondamentale dell'Algebra, ogni equazione cubica ha esattamente tre radici (contando la molteplicità), che possono essere numeri reali o complessi.

Formula di Cardano

Pubblicato nel 1545 da Gerolamo Cardano (sebbene scoperto in precedenza da Scipione del Ferro e Niccolò Tartaglia), questo metodo funziona tramite:

1. Riduzione della cubica: Sostituendo \(x = t - \frac{b}{3a}\) si elimina il termine \(x^2\), ottenendo \(t^3 + pt + q = 0\)
2. Calcolo di p e q: \(p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}\), \(q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}\)
3. Applicazione della formula: \(t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}\)

Il Discriminante

Il discriminante \(\Delta = -4p^3 - 27q^2\) determina la natura delle radici:

• \(\Delta > 0\): Tre radici reali distinte (utilizza il metodo trigonometrico/Viète)
• \(\Delta = 0\): Almeno due radici uguali (esiste una radice ripetuta)
• \(\Delta < 0\): Una radice reale e due radici complesse coniugate

Formule di Viète per Equazioni Cubiche

Se \(x_1, x_2, x_3\) sono le tre radici di \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\), allora:

• \(x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}\) (somma delle radici)
• \(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}\) (somma dei prodotti delle coppie)
• \(x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a}\) (prodotto delle radici)

Casi Speciali

• Equazione cubica ridotta (\(b = 0\)): \(x^3 + cx + d = 0\) — già in forma semplificata
• Equazione cubica pura (\(b = c = 0\)): \(ax^3 + d = 0\) — la radice è \(x = \sqrt[3]{-d/a}\)
• Somma/differenza di cubi: \(x^3 \pm k^3 = (x \pm k)(x^2 \mp kx + k^2)\)

Applicazioni delle Equazioni Cubiche

• Ingegneria: Deflessione delle travi, analisi delle sollecitazioni e sistemi di controllo
• Fisica: Equazione di Keplero, equazioni di stato (van der Waals)
• Economia: Ottimizzazione dei costi, modelli di equilibrio tra domanda e offerta
• Grafica computerizzata: Curve di Bézier, interpolazione spline
• Chimica: Calcoli del pH che coinvolgono acidi/basi deboli

FAQ

Cos'è un'equazione cubica?

Un'equazione cubica è un'equazione polinomiale di grado 3, scritta nella forma ax³ + bx² + cx + d = 0, dove a non è zero. Ogni equazione cubica ha esattamente tre radici, che possono essere numeri reali o complessi.

Come funziona la formula di Cardano?

La formula di Cardano risolve le equazioni cubiche riducendo prima l'equazione a una cubica ridotta (senza il termine x²) attraverso una sostituzione, quindi applicando una formula che coinvolge le radici cubiche. La cubica ridotta t³ + pt + q = 0 viene risolta usando t = radice_cubica(-q/2 + sqrt(q²/4 + p³/27)) + radice_cubica(-q/2 - sqrt(q²/4 + p³/27)).

Cosa indica il discriminante di un'equazione cubica?

Il discriminante determina la natura delle radici. Se positivo, ci sono tre radici reali distinte. Se zero, ci sono radici ripetute. Se negativo, ci sono una radice reale e due radici complesse coniugate.

Un'equazione cubica può avere solo radici complesse?

No. Ogni equazione cubica con coefficienti reali ha almeno una radice reale. Le radici complesse si presentano sempre in coppie coniugate, quindi una cubica ha tre radici reali o una radice reale e due radici complesse coniugate.

Cosa sono le formule di Viète per le equazioni cubiche?

Le formule di Viète mettono in relazione le radici con i coefficienti. Per ax³ + bx² + cx + d = 0 con radici r1, r2, r3: la somma delle radici è uguale a -b/a, la somma dei prodotti delle coppie è uguale a c/a e il prodotto di tutte le radici è uguale a -d/a.