Calculadora de Caída a Través de la Tierra

🌍 Estructura interna de la Tierra

La Tierra no es una bola uniforme: tiene capas distintas con densidades muy diferentes, lo que afecta profundamente al cálculo del tren de gravedad.

📐 La física detrás del tren de gravedad

El tren de gravedad es un experimento mental clásico en física. Imagina perforar un túnel sin fricción y al vacío directo a través de la Tierra y soltar un objeto en él. ¿Qué ocurre?

Modelo de densidad uniforme: Dentro de una esfera uniforme, solo la masa más cercana al centro que tú contribuye a la gravedad (teorema de las cortezas). Esto da un perfil de gravedad lineal:

donde \(g_0 = 9{,}81\) m/s² es la gravedad en la superficie, \(r\) es la distancia al centro y \(R = 6.371\) km es el radio de la Tierra.

Esto crea un movimiento armónico simple con frecuencia angular:

El tiempo de viaje de ida es la mitad del período de oscilación:

Modelo de densidad variable PREM: La Tierra real tiene un núcleo denso de hierro y níquel (13 g/cm³) rodeado por un manto rocoso más ligero (3–5 g/cm³). Esto significa que la gravedad en realidad aumenta a medida que desciendes por el manto (alcanzando un máximo de ~10,68 m/s² en el límite manto-núcleo a 2.891 km de profundidad), y luego disminuye a través del núcleo. El resultado: una aceleración inicial más fuerte y un tiempo de viaje más corto, de unos 38 minutos.

💨 Velocidad máxima en el centro

En el centro de la Tierra, toda la aceleración gravitatoria se ha convertido en energía cinética. La velocidad máxima es:

¡Esto es aproximadamente Mach 23 (23 veces la velocidad del sonido)! También es exactamente igual a la velocidad orbital en la superficie de la Tierra, lo cual no es coincidencia: el tren de gravedad es matemáticamente equivalente a una órbita degenerada (aplanada).

📐 Túneles de cuerda: el atajo sorprendente

Un túnel de cuerda conecta dos puntos en la superficie de la Tierra sin pasar por el centro. Para una cuerda con un ángulo \(\theta\) en el centro:

• Longitud del túnel: \(L = 2R\sin(\theta/2)\)
• Profundidad máxima: \(d = R(1 - \cos(\theta/2))\)
• Velocidad máxima: \(v_{max} = \omega R\sin(\theta/2)\) (menor que la diametral)
• Tiempo de viaje: ¡Sigue siendo \(\pi\sqrt{R/g_0} \approx 42\) minutos!

La igualdad del tiempo de viaje para todas las cuerdas es una consecuencia directa de la propiedad isócrona del movimiento armónico simple, la misma que hace que el período de un péndulo sea independiente de la amplitud (para oscilaciones pequeñas).

🛠 ¿Por qué no podemos construirlo realmente?

Aunque el tren de gravedad es una bella construcción teórica, varios obstáculos prácticos lo hacen imposible con la tecnología actual:

• Temperatura: El núcleo terrestre alcanza los 5.500°C (tan caliente como la superficie del Sol). Ningún material conocido soporta estas temperaturas.
• Presión: En el centro, la presión supera los 360 GPa (3,6 millones de atmósferas). Las paredes del túnel deberían resistir fuerzas de aplastamiento enormes.
• Resistencia del aire: Incluso si se hiciera el vacío, mantener un vacío perfecto a lo largo de 12.742 km es impracticable. Cualquier resto de aire crearía resistencia y calor.
• Efecto Coriolis: La rotación terrestre empujaría al objeto contra las paredes del túnel, requiriendo levitación magnética o un túnel curvo.
• Efectos de marea: La Luna y el Sol crearían ligeras variaciones en la trayectoria.

No obstante, el concepto ha inspirado propuestas reales de "trenes de gravedad" entre ciudades cercanas mediante túneles más cortos y superficiales; ¡básicamente una versión de alta tecnología de una montaña rusa!

📜 Contexto histórico

El concepto del tren de gravedad tiene una rica historia en la física y la ciencia ficción:

• 1638: Galileo Galilei consideró por primera vez el problema de caer a través de la Tierra.
• 1687: Los Principia de Isaac Newton proporcionaron el teorema de las cortezas necesario para resolverlo.
• 1966: Paul Cooper publicó "The Gravity Train" en el American Journal of Physics, popularizando el resultado del túnel de cuerda.
• 2015: Alexander Klotz publicó un cálculo refinado con el modelo PREM, hallando el tiempo de viaje de unos 38 minutos.