旋轉體體積計算機
MiniWebtool 的旋轉體體積計算機可建立曲線旋轉所形成的立體模型。選擇圓盤、圓環或圓柱殼法，輸入函數與積分界限，再查看積分設定及立體視覺化結果。
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在下方選擇圓盤法、墊圈法或柱殼法，輸入函數、上下限和旋轉軸，即可得到旋轉體體積，並附逐步計算和立體的 3D 視圖。
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旋轉體體積計算機
旋轉體體積計算機用於計算由二維區域繞軸旋轉而形成的三維實體體積。這是積分學最重要的應用之一，廣泛應用於工程、物理和製造業，用於確定具有旋轉對稱性物體的體積——從引擎氣缸到衛星天線。
功能概覽
旋轉體體積計算機使用圓盤法、墊圈法或圓柱殼法，求出區域繞軸旋轉形成的立體體積。輸入函數和積分範圍後即可查看積分設定。
| 功能 | 提供內容 | 適用情境 |
|---|---|---|
| 三種方法 | 單一曲線使用圓盤法，兩曲線間的區域使用墊圈法，圓柱殼繞軸旋轉則使用圓柱殼法。 | 微積分中的旋轉體題目 |
| 函數輸入 | 輸入 f(x)，墊圈法另需輸入 g(x)。支援多項式、三角函數、反三角函數、exp、ln、log、sqrt、pi 和 e。 | 照題目原式輸入曲線 |
| 積分範圍 | 設定積分下限 a 和上限 b。 | 具有特定界限的區域，例如 0 到 2 |
| 旋轉軸 | 選擇繞 x 軸、y 軸或自訂軸值旋轉，例如 -1 或 3。 | 繞非座標軸直線旋轉的題目 |
| 步驟與比較 | 代入你輸入的數字顯示積分公式，並比較三種方法。 | 了解某種設定為何適用特定方法 |
| 輪廓與 3D 立體 | 可切換 2D 輪廓和 3D 立體，並提供 Animate 選項。 | 確認形狀後再採信計算結果 |
| 預設範例 | 按鈕會載入 x² 圓盤、sin(x)、√x 拋物面、x 與 x² 墊圈，以及 x² 圓柱殼範例。 | 透過計算案例學習各種方法 |
三種計算方法
如何使用旋轉體體積計算機
- 選擇方法 — 根據您的問題設置選擇圓盤法、墊圈法或剝殼法。
- 輸入函數 — 使用標準數學符號輸入您的函數 f(x)（例如：
x^2,sqrt(x),sin(x)）。若是墊圈法，還需輸入內層函數 g(x)。 - 設置範圍 — 輸入積分的下限 (a) 和上限 (b)。
- 選擇旋轉軸 — 從 x 軸、y 軸中選擇，或輸入自定義軸數值。
- 點擊「計算體積」 — 查看結果，包含逐步 MathJax 公式、互動式 3D 視覺化以及三種方法的比較。
何時使用各個方法
| 情境 | 最佳方法 | 原因 |
|---|---|---|
| 單一曲線繞 x 軸旋轉 | 圓盤法 | 最簡單的設置——只需要 f(x) |
| 兩條曲線之間的區域繞 x 軸旋轉 | 墊圈法 | 能自然處理外半徑和內半徑 |
| 曲線繞 y 軸旋轉 | 剝殼法 | 避免將 f(x) 反轉以將 x 表示為 y 的函數 |
| 函數難以求反函數 | 剝殼法 | 無需根據 y 解出 x |
| 旋轉軸為水平線 | 圓盤法/墊圈法 | 圓盤垂直於水平軸 |
| 旋轉軸為垂直線 | 剝殼法 | 剝殼自然地圍繞垂直軸 |
常見範例
| 形狀 | 函數 | 範圍 | 體積 |
|---|---|---|---|
| 圓錐體 | f(x) = x | [0, r] | \( \frac{1}{3}\pi r^3 \) |
| 球體 | f(x) = √(r² − x²) | [−r, r] | \( \frac{4}{3}\pi r^3 \) |
| 拋物面 | f(x) = √x | [0, h] | \( \frac{1}{2}\pi h^2 \) |
| 圓環 (Torus) | 偏移軸的墊圈法 | 圓形 | \( 2\pi^2 R r^2 \) |
支援的函數
此計算機接受廣泛的數學表達式：
- 多項式：
x^2,x^3 + 2x,3x^2 - x + 1 - 三角函數：
sin(x),cos(x),tan(x) - 反三角函數：
asin(x),acos(x),atan(x) - 指數/對數：
exp(x),ln(x),log(x) - 方根：
sqrt(x) - 常數：
pi,e - 組合：
x^2 * sin(x),sqrt(x) + 1
常見問題
什麼是旋轉體體積？
旋轉體體積（或旋轉固體）是將 2D 曲線或區域繞軸旋轉而產生的 3D 物體的體積。它是使用微積分中的圓盤法、墊圈法或剝殼法計算出來的。現實生活中的常見範例包括瓶子、碗、花瓶和引擎活塞。
何時該使用圓盤法 vs 剝殼法？
當旋轉軸平行於積分變量時（通常是繞 x 軸旋轉且為 x 的函數），使用圓盤法。當旋轉軸垂直於積分變量時（通常是繞 y 軸旋轉且為 x 的函數），使用剝殼法。當函數難以反轉時，剝殼法通常較容易。
什麼是墊圈法？
墊圈法是圓盤法對於由兩條曲線圍成區域的擴展。它使用公式 \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \) 從外層固體體積中減去內層固體體積，其中 R(x) 是外半徑，r(x) 是內半徑。
我該如何選擇旋轉軸？
最常見的軸是 x 軸 (y = 0) 和 y 軸 (x = 0)。您也可以繞任何水平線 y = k 或垂直線 x = k 旋轉。軸的選擇會影響哪種方法最方便，並會改變積分中的半徑表達式。
此計算機支援哪些函數？
此計算機支援多項式 (x^2, x^3)、三角函數 (sin, cos, tan)、指數和對數函數 (exp, ln, log)、平方根 (sqrt) 以及標準算術運算符的組合。請使用 x 作為變量。
引用此內容、頁面或工具為：
"旋轉體體積計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/旋轉體體積計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/
由 miniwebtool 團隊製作。更新日期：2026-04-04
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