導數計算機

即時計算導數並提供逐步解題過程。支持單變量、偏導數、隱函數和方向導數，並配有交互式視覺化圖表。

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導數計算機

歡迎使用我們的導數計算機，這是一個全面的微積分工具，提供詳細的分步解答和互動式視覺化。無論您需要單變量導數、多變量函數的偏導數、隱函數求導，還是帶有梯度分析的方向導數，本計算機都能提供準確的結果與教學說明。

什麼是導數？

導數衡量函數相對於其變量的瞬時變化率。從幾何學上講，某點處的導數代表函數圖形在該點處切線的斜率。導數是微積分的基礎，廣泛應用於物理、工程、經濟和許多其他領域。

函數 f(x) 對 x 的導數記為：

導數記號

\( f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)

支援的導數類型

1. 單變量導數

計算函數 f(x) 對單個變量的導數。支援高達 10 階的高階導數。計算機會識別應用了哪些微分規則（冪次法則、乘積法則、連鎖律等）並顯示每個步驟。

2. 偏導數

對於多變量函數 f(x, y, z, ...)，偏導數衡量對其中一個變量的變化率，同時將其他變量視為常數。這對多變量微積分、最佳化和物理學至關重要。支援混合偏導數，例如先對 x 再對 y 的二階偏導數。

3. 隱函數導數

當函數由方程式 F(x, y) = 0 隱式定義時尋找導數。使用隱函數求導法在不顯式解出 y 的情況下找到 dy/dx。適用於圓、橢圓和其他隱式關係的曲線。

4. 方向導數

衡量函數在任何指定方向上的變化率。計算梯度向量並將其與單位方向向量進行內積運算。顯示所有步驟，包括梯度計算、向量單位化和最終的方向導數值。

常見微分規則

冪次法則 (Power Rule)

\( \frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} \)

範例：\( \frac{d}{dx}[x^3] = 3x^2 \)

乘積法則 (Product Rule)

\( \frac{d}{dx}[f \cdot g] = f'g + fg' \)

範例：\( \frac{d}{dx}[x \cdot \sin(x)] = \sin(x) + x\cos(x) \)

連鎖律 (Chain Rule)

\( \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

範例：\( \frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = 2x\cos(x^2) \)

商法則 (Quotient Rule)

\( \frac{d}{dx}\left[\frac{f}{g}\right] = \frac{f'g - fg'}{g^2} \)

範例：\( \frac{d}{dx}\left[\frac{x}{x+1}\right] = \frac{1}{(x+1)^2} \)

如何使用此計算機

選擇導數類型： 從計算機分頁中選擇您需要的導數類型：單變量、偏導數、隱函數或方向導數。
輸入您的函數： 使用標準數學記號輸入您的函數。使用 ** 表示指數（例如 x**2），* 表示乘法，以及標準函數如 sin(x), cos(x), e**x, ln(x)。
指定參數： 輸入要對其求導的變量、導數階數（1 階、2 階等）以及您所選導數類型所需的任何其他參數。
計算並查看： 點擊計算按鈕來計算導數。查看結果以及顯示應用了哪些微分規則的分步解答。
分析視覺化： 對於單變量導數，檢查互動式圖表，其中顯示原始函數及其導數，以理解它們之間的關係。

函數輸入語法

輸入函數時請使用以下語法：

指數： 使用 **（例如 x**2 表示 x 平方，x**3 表示 x 立方）
乘法： 使用 *（例如 2*x, x*y）——也支援像 2x 這樣的隱式乘法
三角函數： sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)
反三角函數： asin(x), acos(x), atan(x)
指數函數： e**x 或 exp(x)
對數： ln(x) 表示自然對數，log(x, base) 表示其他底數的對數
平方根： sqrt(x) 或 x**(1/2)
絕對值： Abs(x)

理解結果

分步解答

每次計算都包含詳細步驟，顯示：

原始函數識別
每一步應用的微分規則
高階導數的中間計算
簡化後的最終結果

互動式視覺化

對於單變量導數，計算機會產生一個互動式的 Chart.js 圖表，顯示原始函數 f(x) 及其導數 f'(x)。此視覺化有助於您理解：

函數在何處遞增（導數為正）或遞減（導數為負）
局部極大值和極小值（導數等於零之處）
函數曲率與導數斜率之間的關係

常見問題

微積分中的導數是什麼？

導數衡量函數相對於其變量的瞬時變化率。從幾何學上講，它代表函數圖形在任何點處的切線斜率。f(x) 的導數表示為 f'(x) 或 df/dx，並使用極限或微分規則（如冪次法則、乘積法則和連鎖律）計算得出。

什麼是偏導數？

偏導數是多變量函數對其中一個變量的導數，同時將所有其他變量視為常數。對於函數 f(x,y)，對 x 的偏導數寫作 df/dx 或 f_x，衡量當僅 x 變化時 f 如何變化。偏導數在多變量微積分、最佳化和物理學中至關重要。

什麼是隱函數求導？

隱函數求導是一種在函數以隱式而非顯式定義時尋找導數的技術。對於像 x^2 + y^2 = 1 這樣的方程式，我們對兩邊同時對 x 求導，將 y 視為 x 的函數並應用連鎖律。這允許在不先解出 y 的情況下找到 dy/dx。

什麼是方向導數？

方向導數衡量函數在任何指定方向上的變化率。它計算為梯度向量與所需方向上的單位向量的內積：D_u f = nabla f dot u。方向導數概括了偏導數，後者僅衡量沿座標軸的變化。

如何在計算機中輸入函數？

使用標準數學記號，** 表示指數（例如 x**2 表示 x 的平方），* 表示乘法，以及標準函數名稱如 sin(x), cos(x), tan(x), ln(x), log(x), e**x 和 sqrt(x)。支援隱式乘法，因此 2x 會被解釋為 2*x。

導數的應用

物理與工程

速度與加速度： 速度是位置的導數；加速度是速度的導數
變化率： 分析物理量如何隨時間變化
最佳化： 在設計問題中尋找最大值/最小值

經濟與商業

邊際分析： 邊際成本、利潤和收益是總成本、利潤和收益函數的導數
彈性： 需求價格彈性使用導數計算
最佳化： 最大化利潤或最小化成本

數學與科學

曲線描繪： 使用導數分析函數行為
微分方程： 模擬動態系統
泰勒級數： 使用導數近似函數

額外資源

欲進一步學習導數與微積分：

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由 miniwebtool 團隊開發。更新日期：2026年1月9日

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1. 單變量導數

2. 偏導數

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4. 方向導數

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冪次法則 (Power Rule)

乘積法則 (Product Rule)

連鎖律 (Chain Rule)

商法則 (Quotient Rule)

如何使用此計算機

函數輸入語法

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分步解答

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常見問題

微積分中的導數是什麼？

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