三角形重心計算機

歡迎使用三角形重心計算機 —— 這是一個互動式工具，可根據三個頂點坐標尋找任何三角形的重心（質量中心），並提供即時圖表、分步解答和完整的三角形分析。無論您是學生、工程師還是數學愛好者，此計算機都能讓重心計算變得即時且視覺化。

什麼是三角形的重心？

三角形的重心是三條中線的交點。中線是從任何頂點連接到對邊中點的線段。重心也是三角形的質量中心（或重力中心）—— 如果您用均勻的紙板剪出一個三角形，它可以在重心點上完美平衡。

重心公式

對於頂點為 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) 和 C(x₃, y₃) 的三角形：

重心坐標分別是三個頂點 x 坐標和 y 坐標的算術平均值。

重心的關鍵性質

• 始終位於內部： 與垂心或外心不同，對於所有類型的三角形，重心始終位於三角形內部。
• 2:1 中線比例： 重心將每條中線從頂點到中點分成 2:1 的比例。從頂點到重心的距離是中線長度的 2/3；從重心到中點的距離是 1/3。
• 質量中心： 均勻的三角形薄片在重心處平衡 —— 它是三角形中所有點的平均位置。
• 歐拉線： 對於不等邊三角形，重心位於歐拉線上，該線也通過外心和垂心。

如何使用此計算機

1. 輸入坐標： 輸入頂點 A、B 和 C 的 x 和 y 值。支援負數和小數。
2. 選擇精度： 選擇您偏好的小數位數。
3. 點擊計算重心： 系統將顯示重心 G = (Gx, Gy) 以及完整的解析和互動式圖表。
4. 探索圖表： 查看三角形、三條顏色編碼的中線、中點以及動畫重心標記。

重心與其他三角形中心點的對比

常見問題解答

什麼是三角形的重心？

重心是三角形三條中線相交的點。它是三角形的質量中心 —— 均勻的三角形薄片會在這一點平衡。重心始終位於三角形內部。

如何使用坐標尋找三角形的重心？

計算三個頂點 x 坐標和 y 坐標的平均值：G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)。此計算機能立即通過分步運算完成此計算。

什麼是中線 2:1 的比例性質？

重心將每條中線從頂點到中點分成 2:1 的比例。因此從任何頂點到 G 的距離正好是該中線總長度的 2/3，而從 G 到對邊中點的距離為 1/3。

重心總是位於三角形內部嗎？

是的 —— 與外心或垂心（對於鈍角三角形可能位於外部）不同，對於任何非退化三角形，重心始終嚴格地位於三角形內部。

重心、外心和垂心有什麼區別？

重心（中線交點）是質量中心。外心到三個頂點的距離相等。垂心是高的交點。對於等邊三角形，這三者重合。對於其他三角形，它們在歐拉線上共線，順序為 O, G, H，且 G 以 1:2 的比例分割 OH。

其他資源

• 三角形的重心 - 維基百科
• 歐拉線 - 維基百科