確率分布電卓

確率分布電卓へようこそ。このツールは、様々な確率分布における確率、累積確率（CDF）、および分位数（逆CDF）を算出するための包括的な統計ツールです。統計学を学んでいる学生、データを分析している研究者、あるいは統計モデルを扱う専門家の方々にとって、この電卓は詳細なステップバイステップの解法とインタラクティブな可視化を提供し、確率分布の理解を深めるのに役立ちます。

対応している確率分布

この電卓は、様々なランダム現象に適した7つの一般的な確率分布をサポートしています：

PDF、CDF、分位関数の理解

確率密度/質量関数 (PDF/PMF)

PDF（連続分布の場合）または PMF（離散分布の場合）は、乱数が特定の値を取る相対的な可能性を示します。連続分布の場合、PDFの値自体は確率ではなく「密度」であり、確率は特定の区間でPDFを積分することによって求められます。

累積分布関数 (CDF)

CDF（F(x)と表記）は、乱数 X がある値 x 以下になる確率を与えます。これは P(X ≤ x) と書かれます。CDFは x が増加するにつれて常に 0 から 1 まで増加します。

分位関数 (逆CDF)

分位関数（パーセント点関数または逆CDFとも呼ばれる）は、P(X ≤ x) = p となるような値 x を求めます。「分布の (1-p)×100% だけがその値を超えるような境界値は何か？」という問いに答えます。これは仮説検定で棄却限界値を求める際に不可欠です。

分布の公式

正規分布

正規分布（ガウス分布）は、平均 μ（中心）と標準偏差 σ（広がり）で特徴づけられる、対称なベル型の分布です。

• PDF: \( f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)
• CDF: \( F(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] \)
• 分位数: \( x = \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) \)

二項分布

それぞれ成功確率 p を持つ n 回の独立した試行における成功回数をモデル化します。

• PMF: \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
• CDF: \( F(k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \)

ポアソン分布

イベントが一定の平均レート λ で発生する場合の、固定期間内のイベント発生数をモデル化します。

• PMF: \( P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \)
• CDF: \( F(k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i}{i!} \)

指数分布

レート λ のポアソン過程におけるイベント間の時間をモデル化します。

• PDF: \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \) （x ≥ 0 の場合）
• CDF: \( F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \)
• 分位数: \( x = -\frac{\ln(1-p)}{\lambda} \)

カイ二乗分布

標準正規乱数の二乗和として統計学に現れます。分散の仮説検定や信頼区間の算出に使用されます。

• PDF: \( f(x) = \frac{x^{k/2-1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} \) （x > 0 の場合）

スチューデントのt分布

正規分布に似ていますが、裾がより厚くなっています。標本サイズが小さい場合や母分散が未知の場合の母平均の推論に使用されます。

• PDF: \( f(x) = \frac{Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1+\frac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} \)

この電卓の使い方

1. 分布を選択する: データや問題に一致する分布カードをクリックします。各カードには分布のタイプ（連続型または離散型）が表示されています。
2. 計算タイプを選択する: 点における確率の PDF/PMF、累積確率の CDF、または特定の確率に対応する値を求める分位数を選択します。
3. パラメータを入力する: 分布のパラメータを入力します。フォームは選択した分布に合わせて必要なパラメータのみを動的に表示します。
4. 値または確率を入力する: PDF/CDF の場合は x 値（離散型の場合は k）を入力します。分位数の場合は 0 から 1 の間の確率を入力します。
5. 結果を確認する: 計算された結果、ステップバイステップの数学的導出、およびインタラクティブな分布の可視化グラフを確認します。

よくある質問

確率分布とは何ですか？

確率分布とは、乱数の異なる可能な結果が生じる確率を記述する数学関数です。数えられる結果については離散型（二項分布やポアソン分布など）、範囲内の任意の値を取る結果については連続型（正規分布や指数分布など）があります。

PDFとCDFの違いは何ですか？

PDF（確率密度関数）またはPMF（確率質量関数）は、特定の点における確率密度を与えます。離散分布の場合、PMFは正確な確率 P(X=k) を与えます。CDF（累積分布関数）は、乱数が特定の値以下になる確率 P(X≤x) を与えます。CDFはPDF/PMFの累積積分または累積和です。

正規分布はどのような時に使うべきですか？

正規分布は、平均値を中心に左右対称に分布する連続データに適しています。身長、テストのスコア、測定誤差、多くの生物学的変数などの現象に一般的に使用されます。中心極限定理により、母集団の分布にかかわらず標本平均は正規分布に近づくため、統計学において非常に重要です。

分位関数とは何ですか？

分位関数（逆CDFまたはパーセント点関数とも呼ばれる）は、与えられた確率 p に対して P(X≤x) = p となる値 x を求めます。例えば、分布の第95パーセンタイル（p=0.95）は、全観測値の95%がその値を下回る境界の値です。

異なる分布をどのように選択すればよいですか？

データの特性に基づいて選択します：平均付近で対称な連続データには正規分布、固定試行回数内の成功カウントには二項分布、固定期間内の稀なイベントのカウントにはポアソン分布、イベント間の時間には指数分布、範囲内で確率が一定なら一様分布、分散の検定にはカイ二乗分布、母分散未知の小標本にはt分布を選びます。

関連リソース

• 確率分布 - Wikipedia
• 正規分布 - Wikipedia
• 統計と確率 - Khan Academy (英語)