Calcolatore di Trasformata di Laplace Inversa

Q: Qual è la definizione matematica della Trasformata di Laplace Inversa?

La definizione formale è f(t) = L^{-1}{F(s)} = (1/2πi) ∫ e^(st) F(s) ds, dove l'integrale è un integrale di contorno nel piano complesso. In pratica, si usano tabelle e tecniche algebriche piuttosto che la valutazione diretta dell'integrale.

Calcola la trasformata inversa di Laplace di F(s) per trovare f(t). Ottieni soluzioni passo-passo, visualizzazioni e comprendi la trasformazione dal dominio della frequenza al dominio del tempo.

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Inserisci la Funzione F(s)

F(s) =

Usa ^ per le potenze, * per la moltiplicazione. Esempi: 1/(s^2+4), s/((s-1)*(s+2))

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Calcolatore di Trasformata di Laplace Inversa

Matematica Ingegneristica

Dominio della Frequenza

F(s)

Laplace Inversa

Dominio del Tempo

f(t)

Benvenuto al **Calcolatore di Trasformata di Laplace Inversa**, un potente strumento per convertire funzioni dal dominio della frequenza complessa $ F(s) $ al dominio del tempo $ f(t) $. Essenziale per ingegneri, matematici, fisici e studenti che lavorano con equazioni differenziali, sistemi di controllo, analisi dei circuiti ed elaborazione dei segnali.

Cos'è la Trasformata di Laplace Inversa?

La **Trasformata di Laplace Inversa** inverte l'operazione di trasformata di Laplace. Data una funzione $ F(s) $ nel dominio s (dominio della frequenza complessa), trova la corrispondente funzione nel dominio del tempo $ f(t) $. Questo è fondamentale per risolvere equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

Definizione Formale

Trasformata di Laplace Inversa

$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds$$

In pratica, la valutazione diretta di questo integrale di contorno viene eseguita raramente. Si utilizzano invece tabelle di coppie di trasformate note e tecniche di manipolazione algebrica per trovare le trasformate inverse.

Proprietà Chiave

Linearità

$ \mathcal{L}^{-1}\{aF(s) + bG(s)\} = a f(t) + b g(t) $

Primo Teorema di Traslazione

$ \mathcal{L}^{-1}\{F(s - a)\} = e^{at} f(t) $

Secondo Teorema di Traslazione

$ \mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\} = u(t-a) f(t-a) $

Teorema di Convoluzione

$ \mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\} = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) d\tau $

Coppie di Trasformate Comuni

$ F(s) $	$ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} $
$ \dfrac{1}{s} $	$ 1 $
$ \dfrac{n!}{s^{n+1}} $	$ t^n $
$ \dfrac{1}{s - a} $	$ e^{at} $
$ \dfrac{b}{s^2 + b^2} $	$ \sin(bt) $
$ \dfrac{s}{s^2 + b^2} $	$ \cos(bt) $
$ \dfrac{b}{(s-a)^2 + b^2} $	$ e^{at}\sin(bt) $
$ \dfrac{s-a}{(s-a)^2 + b^2} $	$ e^{at}\cos(bt) $

Come Usare Questo Calcolatore

Inserisci F(s): Inserisci la tua funzione usando la notazione matematica standard. Usa ^ per gli esponenti, * per la moltiplicazione e nomi di funzioni standard.
Clicca su Calcola: Premi il pulsante per calcolare la trasformata di Laplace inversa utilizzando la matematica simbolica.
Esamina i Risultati: Visualizza la funzione nel dominio del tempo $ f(t) $, la soluzione passo dopo passo e le visualizzazioni grafiche di entrambe le funzioni.

Applicazioni

Sistemi di Controllo: Analizza le risposte del sistema convertendo le funzioni di trasferimento in comportamento nel dominio del tempo
Analisi dei Circuiti: Risolvi circuiti RLC e determina le risposte transitorie
Elaborazione dei Segnali: Comprendi le risposte dei filtri e le trasformazioni dei segnali
Equazioni Differenziali: Trova soluzioni in forma chiusa per equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti
Sistemi Meccanici: Analizza vibrazioni, smorzamento e risposte meccaniche

Guida alla Sintassi di Input

Operatori di base: +, -, *, /, ^ (potenza)
Parentesi: Usa ( e ) per raggruppare
Variabile: Usa s come variabile di frequenza complessa
Funzioni: exp(x), sin(x), cos(x), sqrt(x), log(x)
Costanti: Usa pi per $\pi$ ed E per il numero di Eulero

Domande Frequenti

Cos'è la Trasformata di Laplace Inversa?

La Trasformata di Laplace Inversa è un'operazione matematica che converte una funzione F(s) dal dominio della frequenza complessa (dominio s) al dominio del tempo f(t). È l'inverso della Trasformata di Laplace ed è essenziale per risolvere equazioni differenziali in ingegneria e fisica.

Come si usa il Calcolatore di Trasformata di Laplace Inversa?

Inserisci la tua funzione F(s) usando la notazione matematica standard (es. 1/(s-7), s/(s^2+4), exp(-2*s)/s). Clicca su Calcola per ottenere la trasformata di Laplace inversa f(t) insieme alle soluzioni passo dopo passo e alle visualizzazioni delle funzioni sia nel dominio della frequenza che nel tempo.

Quali tipi di funzioni sono supportati?

Questo calcolatore supporta funzioni razionali (polinomi divisi per polinomi), funzioni esponenziali, funzioni trigonometriche incorporate in espressioni nel dominio s e combinazioni di esse. Forme comuni includono 1/(s-a), n!/(s^(n+1)), s/(s^2+b^2) ed espressioni più complesse.

Qual è la definizione matematica della Trasformata di Laplace Inversa?

La definizione formale è $ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds $, dove l'integrale è un integrale di contorno nel piano complesso. In pratica, si usano tabelle e tecniche algebriche piuttosto che la valutazione diretta dell'integrale.

Perché la Trasformata di Laplace Inversa è importante in ingegneria?

Gli ingegneri usano la Trasformata di Laplace Inversa per analizzare sistemi lineari tempo-invarianti, risolvere problemi circuitali, progettare sistemi di controllo e comprendere l'elaborazione dei segnali. Converte equazioni algebriche nel dominio s in soluzioni di equazioni differenziali nel dominio del tempo.

Risorse Aggiuntive

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\( F(s) \)	\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} \)
\( \dfrac{1}{s} \)	\( 1 \)
\( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \)	\( t^n \)
\( \dfrac{1}{s - a} \)	\( e^{at} \)
\( \dfrac{b}{s^2 + b^2} \)	\( \sin(bt) \)
\( \dfrac{s}{s^2 + b^2} \)	\( \cos(bt) \)
\( \dfrac{b}{(s-a)^2 + b^2} \)	\( e^{at}\sin(bt) \)
\( \dfrac{s-a}{(s-a)^2 + b^2} \)	\( e^{at}\cos(bt) \)

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Definizione Formale

Proprietà Chiave

Coppie di Trasformate Comuni

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Applicazioni

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Domande Frequenti

Cos'è la Trasformata di Laplace Inversa?

Come si usa il Calcolatore di Trasformata di Laplace Inversa?

Quali tipi di funzioni sono supportati?

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Perché la Trasformata di Laplace Inversa è importante in ingegneria?

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