Calcolatore di Traccia di Matrice
Calcola la traccia di una matrice quadrata (somma degli elementi diagonali), verifica l’uguaglianza con la somma degli autovalori, esplora le proprietà della traccia e visualizza la diagonale con una mappa di calore interattiva. Supporta matrici fino a 10×10.
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Calcolatore di Traccia di Matrice
Benvenuto nel Calcolatore di Traccia di Matrice, uno strumento interattivo per calcolare la traccia di qualsiasi matrice quadrata — ovvero la somma degli elementi sulla diagonale principale. La traccia è apparentemente semplice ma profondamente importante: è uguale alla somma degli autovalori, rimane invariante sotto trasformazioni di similitudine e appare ovunque, dalla meccanica quantistica al machine learning. Questo calcolatore fornisce il calcolo passo dopo passo, la verifica degli autovalori, la traccia delle potenze della matrice, il rilevamento delle proprietà e una heatmap visiva che evidenzia la diagonale.
Cos'è la Traccia di una Matrice?
La traccia di una matrice n×n A, scritta come tr(A), è definita come la somma degli elementi diagonali:
Solo le matrici quadrate (stesso numero di righe e colonne) hanno una traccia. È una delle due funzioni scalari più fondamentali di una matrice — l'altra è il determinante.
Traccia ed Autovalori
Una delle proprietà più notevoli della traccia è la sua connessione con gli autovalori:
Questo vale anche quando gli autovalori sono numeri complessi — le parti immaginarie si cancellano sempre per le matrici reali, garantendo una traccia reale. Questa identità deriva dal fatto che sia la traccia che la somma degli autovalori sono uguali all'opposto del coefficiente di \(x^{n-1}\) nel polinomio caratteristico \(\det(A - xI)\).
Proprietà Chiave della Traccia
Linearità
La traccia è un funzionale lineare sullo spazio delle matrici:
- \(\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)\)
- \(\text{tr}(cA) = c \cdot \text{tr}(A)\) per qualsiasi scalare c
Proprietà Ciclica
La traccia è invariante sotto permutazioni cicliche di prodotti di matrici:
Nota: questo non significa che tr(ABC) = tr(BAC) in generale. Sono consentite solo le permutazioni cicliche.
Invarianza per Similitudine
Se B = P-1AP per una qualche matrice invertibile P, allora tr(B) = tr(A). Ciò rende la traccia un invariante per similitudine, il che significa che non dipende dalla scelta della base.
Invarianza per Trasposizione
tr(A) = tr(AT), perché la trasposizione di una matrice non cambia gli elementi diagonali.
Connessione alla Norma di Frobenius
Applicazioni della Traccia
Tipi Speciali di Matrici e le loro Tracce
| Tipo di Matrice | Proprietà della Traccia | Esempio |
|---|---|---|
| Identità In | tr(I) = n | tr(I3) = 3 |
| Matrice Nulla | tr(0) = 0 | Tutti gli elementi a zero |
| Matrice Diagonale | tr = somma diagonale | tr(diag(2,5,3)) = 10 |
| A Traccia Nulla (sl(n)) | tr(A) = 0 | Matrici di Pauli, generatori SU(n) |
| Simmetrica | tr = somma autovalori reali | Tutti gli autovalori reali |
| Ortogonale | |tr(A)| ≤ n | Matrici di rotazione |
| Idempotente | tr(A) = rank(A) | Matrici di proiezione |
| Nilpotente | tr(Ak) = 0 per ogni k | Tutti gli autovalori a zero |
Traccia delle Potenze della Matrice e Identità di Newton
Le tracce delle potenze di una matrice, tr(A), tr(A²), tr(A³), ..., contengono informazioni complete sullo spettro degli autovalori. Attraverso le identità di Newton, queste tracce di potenza possono ricostruire l'intero polinomio caratteristico:
Ciò significa che la sequenza delle tracce {tr(A), tr(A²), ..., tr(An)} determina completamente gli autovalori di A.
Domande Frequenti
Cos'è la traccia di una matrice?
La traccia di una matrice quadrata A, denotata tr(A), è la somma degli elementi sulla diagonale principale: tr(A) = a11 + a22 + ... + ann. È definita solo per matrici quadrate (n×n). La traccia è uno degli invarianti matriciali più fondamentali nell'algebra lineare.
In che modo la traccia è correlata agli autovalori?
La traccia di una matrice è uguale alla somma dei suoi autovalori (contati con la loro molteplicità algebrica): tr(A) = λ1 + λ2 + ... + λn. Questo perché la traccia e la somma degli autovalori sono entrambe l'opposto del coefficiente di xn-1 nel polinomio caratteristico.
Quali sono le proprietà chiave della traccia?
Proprietà chiave: (1) Linearità: tr(aA + bB) = a·tr(A) + b·tr(B). (2) Invarianza per trasposizione: tr(A) = tr(AT). (3) Proprietà ciclica: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB). (4) Invarianza per similitudine: tr(P-1AP) = tr(A). (5) tr(ATA) = somma dei quadrati di tutti gli elementi = ‖A‖²F (norma di Frobenius al quadrato).
Perché la traccia è importante nell'algebra lineare?
La traccia è un invariante per similitudine — non cambia sotto un cambio di base. Insieme al determinante, la traccia caratterizza il comportamento delle trasformazioni lineari. In fisica, la traccia appare nella meccanica quantistica (valori di aspettazione), nella relatività generale (scalare di Ricci) e nella meccanica statistica (funzioni di partizione). Nel machine learning, viene utilizzata nella regolarizzazione e nei metodi kernel.
Cos'è una matrice a traccia nulla?
Una matrice a traccia nulla ha tr(A) = 0, il che significa che i suoi elementi diagonali sommano a zero. Le matrici a traccia nulla formano l'algebra di Lie sl(n), che gioca un ruolo centrale nella fisica teorica e nella geometria differenziale. Ogni matrice può essere decomposta come A = (tr(A)/n)I + B, dove B è a traccia nulla.
Come si calcola la traccia di una matrice?
Per calcolare la traccia: (1) Identifica gli elementi della diagonale principale a11, a22, ..., ann — questi sono gli elementi dove l'indice di riga è uguale all'indice di colonna. (2) Sommarli insieme: tr(A) = a11 + a22 + ... + ann. Ad esempio, per [[1,2],[3,4]], la traccia è 1 + 4 = 5.
Risorse Aggiuntive
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dal team miniwebtool. Aggiornato: 21 feb 2026
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