Calculatrice d'Intégrale

Calculatrice d'Intégrale

Bienvenue sur la Calculatrice d'Intégrale, un outil en ligne puissant pour calculer des intégrales définies et indéfinies avec des solutions détaillées étape par étape. Que vous soyez un étudiant en calcul apprenant les techniques d'intégration, un ingénieur résolvant des problèmes complexes ou toute personne ayant besoin d'évaluer rapidement des intégrales, cette calculatrice fournit des résultats symboliques précis avec des visualisations interactives pour vous aider à comprendre le processus d'intégration.

Qu'est-ce que l'Intégration ?

L'Intégration est l'une des deux opérations fondamentales du calcul (l'autre étant la différenciation). Elle représente le processus inverse de la différenciation et est utilisée pour trouver des fonctions dont les dérivées sont connues (antidérivées) et pour calculer des aires, des volumes et des quantités accumulées.

Où $F(x)$ est l'antidérivée de $f(x)$, ce qui signifie que $F'(x) = f(x)$, et $C$ est la constante d'intégration représentant la famille de toutes les antidérivées.

L'Intégrale Définie

L'intégrale définie calcule l'aire signée entre une fonction et l'axe des x sur un intervalle spécifique :

Cette formule, connue sous le nom de Théorème Fondamental du Calcul, relie les concepts d'antidérivées et d'aires, nous permettant d'évaluer des intégrales définies en utilisant des antidérivées.

Règles d'Intégration Courantes

Voici les formules d'intégration fondamentales que vous devez connaître :

Comment utiliser cette calculatrice

1. Choisissez le type d'intégrale : Sélectionnez si vous souhaitez calculer une intégrale indéfinie (renvoie l'antidérivée + C) ou une intégrale définie (renvoie une valeur numérique).
2. Entrez votre fonction : Tapez la fonction en utilisant la notation mathématique standard. Les opérations prises en charge incluent les polynômes (x^2), les fonctions trigonométriques (sin, cos, tan), exponentielles (exp, e^x), logarithmiques (ln, log) et la racine carrée (sqrt).
3. Spécifiez la variable : Généralement x, mais vous pouvez utiliser n'importe quelle lettre unique.
4. Pour les intégrales définies : Entrez les limites inférieure et supérieure. Vous pouvez utiliser des nombres ou des expressions comme pi, e ou sqrt(2).
5. Calculer : Voir le résultat avec la solution étape par étape et les graphiques interactifs.

Syntaxe de fonction prise en charge

• Puissance : x^2, x^3, x^(-1)
• Trigonométrique : sin(x), cos(x), tan(x), sec(x), csc(x), cot(x)
• Trigonométrique Inverse : asin(x), acos(x), atan(x)
• Exponentielle : exp(x), e^x, 2^x
• Logarithmique : ln(x), log(x)
• Hyperbolique : sinh(x), cosh(x), tanh(x)
• Autres : sqrt(x), abs(x)
• Constantes : pi, e

Le Théorème Fondamental du Calcul

Le Théorème Fondamental du Calcul est l'un des théorèmes les plus importants en mathématiques, établissant le lien entre la différenciation et l'intégration.

Partie 1 : Dérivée d'une Intégrale

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$, alors $F'(x) = f(x)$. Cela signifie que la dérivée d'une intégrale récupère la fonction d'origine.

Partie 2 : Évaluation des Intégrales Définies

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $F$ est toute antidérivée de $f$, alors :

Ce théorème nous permet d'évaluer des intégrales définies en trouvant une antidérivée et en calculant la différence aux bornes, plutôt que de calculer des limites de sommes de Riemann.

Techniques d'Intégration

Substitution (Substitution en u)

Pour les intégrales de la forme $\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx$, posons $u = g(x)$, alors $du = g'(x) \, dx$. Cela transforme l'intégrale en $\int f(u) \, du$, qui peut être plus facile à évaluer.

Intégration par Parties

Basée sur la règle du produit pour les dérivées : $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Ceci est utile pour les produits de fonctions comme $x \cdot e^x$ ou $x \cdot \sin(x)$.

Fractions Partielles

Pour les fonctions rationnelles (ratios de polynômes), décomposez la fraction en termes plus simples qui peuvent être intégrés individuellement.

Substitution Trigonométrique

Pour les intégrandes contenant $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$ ou $\sqrt{x^2 - a^2}$, utilisez des substitutions trigonométriques appropriées.

Applications de l'Intégration

Aire sous une courbe

L'application la plus fondamentale : l'intégrale définie $\int_a^b f(x) \, dx$ donne l'aire signée entre la courbe $y = f(x)$ et l'axe des x de $x = a$ à $x = b$.

Aire entre des courbes

L'aire entre les courbes $y = f(x)$ et $y = g(x)$ de $a$ à $b$ est : $\int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$

Volumes de Révolution

La rotation d'une courbe autour d'un axe crée un solide dont le volume peut être calculé à l'aide de la méthode du disque : $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

Applications Physiques

• Déplacement : L'intégration de la vitesse donne le déplacement
• Travail : $W = \int F(x) \, dx$ (travail effectué par une force variable)
• Centre de masse : Trouvé en utilisant des formules intégrales
• Probabilité : L'aire sous les courbes de densité de probabilité

Questions Fréquemment Posées

Qu'est-ce qu'une intégrale en calcul ?

Une intégrale est un concept fondamental du calcul qui représente l'accumulation de quantités, comme les aires sous les courbes ou le changement total. L'intégrale indéfinie (antidérivée) trouve une fonction dont la dérivée est égale à la fonction d'origine. L'intégrale définie calcule l'aire signée entre une fonction et l'axe des x sur un intervalle spécifique. Les intégrales sont l'opération inverse des dérivées.

Quelle est la différence entre les intégrales définies et indéfinies ?

Une intégrale indéfinie trouve l'antidérivée générale d'une fonction et comprend une constante d'intégration C. Elle s'écrit comme l'intégrale de f(x) dx = F(x) + C. Une intégrale définie évalue l'antidérivée à des bornes supérieures et inférieures spécifiques, donnant une valeur numérique représentant l'aire signée. L'intégrale définie de a à b de f(x) dx est égale à F(b) moins F(a).

Qu'est-ce le Théorème Fondamental du Calcul ?

Le Théorème Fondamental du Calcul relie la différenciation et l'intégration. La partie 1 stipule que si F(x) est l'antidérivée de f(x), alors la dérivée de l'intégrale de a à x de f(t)dt est égale à f(x). La partie 2 stipule que l'intégrale définie de a à b de f(x)dx est égale à F(b) moins F(a), où F est toute antidérivée de f. Ce théorème nous permet d'évaluer des intégrales définies en utilisant des antidérivées.

Quelles sont les techniques d'intégration courantes ?

Les techniques d'intégration courantes comprennent : la Règle de la Puissance pour les termes polynomiaux, la Substitution (substitution en u) pour les fonctions composites, l'Intégration par Parties pour les produits de fonctions, les Fractions Partielles pour les fonctions rationnelles, la Substitution Trigonométrique pour les expressions avec racines carrées de quadratiques, et les Identités Trigonométriques pour simplifier les intégrandes trigonométriques. Le choix de la technique dépend de la forme de l'intégrande.

Que représente l'aire sous une courbe ?

L'intégrale définie représente l'aire signée entre une fonction et l'axe des x. Les aires au-dessus de l'axe des x sont comptées comme positives, tandis que les aires en dessous sont comptées comme négatives. Ce concept a de nombreuses applications : en physique, l'aire sous un graphique vitesse-temps donne le déplacement ; en économie, l'aire sous une courbe de coût marginal donne le coût total ; en probabilité, l'aire sous une fonction de densité de probabilité donne des probabilités.

Ressources Connexes

• Intégration - Wikipédia
• Calcul Intégral - Khan Academy
• Integral - Wolfram MathWorld

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