Calculatrice d'orthocentre de triangle

Bienvenue sur la Calculatrice d'orthocentre de triangle — un outil interactif qui trouve l'orthocentre (intersection des trois hauteurs) de n'importe quel triangle à partir des coordonnées de ses sommets, avec un diagramme en direct montrant les hauteurs, la droite d'Euler, des solutions étape par étape et une analyse complète du triangle. Que vous soyez un étudiant en géométrie, un ingénieur travaillant avec la géométrie analytique ou un passionné de mathématiques, cette calculatrice rend le calcul de l'orthocentre instantané et visuel.

Qu'est-ce que l'orthocentre d'un triangle ?

L'orthocentre d'un triangle est le point de concours des trois hauteurs. Une hauteur est un segment de droite issu d'un sommet et perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement). L'orthocentre est l'un des quatre centres du triangle classiques, aux côtés du centroïde, du circonc centre et de l'incirc centre.

Formule de l'orthocentre

Pour un triangle de sommets A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) et C(x₃, y₃), l'orthocentre H(Hx, Hy) est trouvé en résolvant le système d'équations de perpendicularité :

Cela produit un système linéaire de deux équations à deux inconnues (Hx et Hy), soluble via la règle de Cramer ou par substitution.

Où se situe l'orthocentre ?

Contrairement au centroïde (qui se trouve toujours à l'intérieur), la position de l'orthocentre dépend du type de triangle :

• Triangle acutangle : L'orthocentre se situe à l'intérieur du triangle.
• Triangle rectangle : L'orthocentre coïncide avec le sommet de l'angle droit.
• Triangle obtusangle : L'orthocentre se situe à l'extérieur du triangle, au-delà du côté opposé à l'angle obtus.

La droite d'Euler

Pour tout triangle non équilatéral, trois centres importants sont colinéaires sur la droite d'Euler :

• Circonc centre (O) — centre du cercle circonscrit
• Centroïde (G) — centre de masse (intersection des médianes)
• Orthocentre (H) — intersection des hauteurs

Le centroïde divise le segment OH dans un rapport 1:2 à partir de O, ce qui signifie que OG:GH = 1:2. Cette relation puissante relie trois propriétés du triangle apparemment sans lien.

Comment utiliser cette calculatrice

1. Saisir les coordonnées : Entrez les valeurs x et y pour les sommets A, B et C. Les nombres négatifs et les décimaux sont acceptés.
2. Choisir la précision : Sélectionnez le nombre de décimales souhaité (de 2 à 10).
3. Cliquer sur Calculer : L'orthocentre H = (Hx, Hy) s'affiche avec une décomposition complète et un diagramme interactif.
4. Explorer le diagramme : Visualisez le triangle, ses trois hauteurs avec code couleur et marqueurs d'angle droit, les pieds des hauteurs, l'orthocentre animé et la droite d'Euler reliant H, G et O.

Orthocentre vs autres centres du triangle

Propriétés de l'orthocentre

• Concourance des hauteurs : Les trois hauteurs de n'importe quel triangle se coupent toujours en un seul point — l'orthocentre. C'est une conséquence du théorème de Ceva.
• Droite d'Euler : H, G et O sont colinéaires (sauf pour les triangles équilatéraux où ils coïncident).
• Propriété de réflexion : La réflexion de l'orthocentre par rapport au milieu de n'importe quel côté le place sur le cercle circonscrit.
• Système orthocentrique : Si H est l'orthocentre du triangle ABC, alors chaque sommet est l'orthocentre du triangle formé par les deux autres sommets et H.
• Relation de distance : La somme des distances de l'orthocentre aux sommets est égale à deux fois la somme des distances du circonc centre aux sommets.

Foire aux questions

Qu'est-ce que l'orthocentre d'un triangle ?

L'orthocentre est le point où les trois hauteurs d'un triangle se coupent. Une hauteur est un segment de droite perpendiculaire allant d'un sommet au côté opposé. C'est l'un des quatre centres classiques du triangle et il se trouve sur la droite d'Euler.

Comment trouver l'orthocentre d'un triangle avec des coordonnées ?

Établissez deux équations de perpendicularité en utilisant la condition du produit scalaire : AH·BC = 0 et BH·AC = 0. Cela donne un système linéaire 2×2 que vous résolvez pour obtenir les coordonnées de l'orthocentre (Hx, Hy) via la règle de Cramer. Cette calculatrice effectue toutes ces étapes automatiquement.

L'orthocentre est-il toujours à l'intérieur du triangle ?

Non. L'orthocentre est à l'intérieur uniquement pour les triangles acutangles. Pour les triangles rectangles, il se trouve sur le sommet de l'angle droit. Pour les triangles obtusangles, il se trouve à l'extérieur du triangle. C'est ce qui rend l'orthocentre unique parmi les centres du triangle.

Qu'est-ce que la droite d'Euler ?

La droite d'Euler est une ligne droite passant par trois centres du triangle : le circonc centre (O), le centroïde (G) et l'orthocentre (H). Le centroïde divise le segment OH dans un rapport 1:2 depuis O. Pour les triangles équilatéraux, les trois coïncident, donc aucune ligne unique n'existe.

Quelle est la différence entre l'orthocentre et le centroïde ?

L'orthocentre est le point de rencontre des trois hauteurs (perpendiculaires aux côtés opposés), tandis que le centroïde est le point de rencontre des trois médianes (allant aux milieux des côtés opposés). Le centroïde est toujours à l'intérieur du triangle et constitue son centre de masse. L'orthocentre peut être à l'extérieur pour les triangles obtusangles.

Ressources supplémentaires

• Hauteur d'un triangle - Wikipédia
• Droite d'Euler - Wikipédia