Wachstumsrate-Rechner

Wachstumsrate-Rechner

Willkommen beim Wachstumsrate-Rechner, einem leistungsstarken, kostenlosen Online-Tool, mit dem Sie die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (CAGR), den zukünftigen Wert, den Anfangswert oder Zeiträume präzise berechnen können. Ganz gleich, ob Sie Investitionsrenditen, das Umsatzwachstum von Unternehmen, die Wertsteigerung von Immobilien oder andere Szenarien mit exponentiellem Wachstum analysieren – dieser Rechner bietet umfassende Analysen mit interaktiven Chart.js-Visualisierungen, Aufschlüsselungen für jeden Zeitraum und detaillierte Kennzahlen, damit Sie exponentielle Wachstumsmuster besser verstehen.

Was ist exponentielles Wachstum (Compound Growth)?

Exponentielles Wachstum (oft auch als Zinseszins-Wachstum bezeichnet) ist der Prozess, bei dem ein Wert im Laufe der Zeit basierend auf einer konstanten prozentualen Wachstumsrate ansteigt, die in jedem Zeitraum auf den aktuellen Wert angewendet wird. Im Gegensatz zum linearen Wachstum, bei dem in jedem Zeitraum der gleiche absolute Betrag hinzugefügt wird, beschleunigt sich das exponentielle Wachstum im Laufe der Zeit, da das Wachstum jedes Zeitraums auf einem immer größer werdenden Basiswert berechnet wird.

Das Grundprinzip des exponentiellen Wachstums besteht darin, dass das Wachstum auf dem vorherigen Wachstum aufbaut. Dies erzeugt einen Schneeballeffekt, bei dem sich die Steigerungsrate im Laufe der Zeit beschleunigt, was zu einer Exponentialkurve anstatt einer geraden Linie führt.

Wie exponentielles Wachstum funktioniert

Beim exponentiellen Wachstum wird die Wachstumsrate in jedem Zeitraum auf den aktuellen Wert angewendet, nicht nur auf den ursprünglichen Wert. Das bedeutet:

• Zeitraum 1: Das Wachstum wird auf Basis des Anfangswerts berechnet.
• Zeitraum 2: Das Wachstum wird auf Basis des Anfangswerts plus dem Wachstum aus Zeitraum 1 berechnet.
• Zeitraum 3: Das Wachstum wird auf Basis des Gesamtwerts nach Zeitraum 2 berechnet.
• Und so weiter... Das Wachstum jedes Zeitraums verzinst sich auf allen vorherigen Zeiträumen.

Beispiel: 10.000 €, die jährlich um 8 % wachsen:

• Jahr 1: 10.000 € × 1,08 = 10.800 € (800 € Gewinn)
• Jahr 2: 10.800 € × 1,08 = 11.664 € (864 € Gewinn)
• Jahr 3: 11.664 € × 1,08 = 12.597 € (933 € Gewinn)

Beachten Sie, wie der absolute Wachstumsbetrag jedes Jahr zunimmt, obwohl die prozentuale Rate konstant bleibt. Diese Beschleunigung ist das Wesen des exponentiellen Wachstums.

Formel für exponentielles Wachstum

Die Formel für exponentielles Wachstum berechnet, wie ein Wert im Laufe der Zeit exponentiell ansteigt:

Dabei gilt:

• FV = Zukünftiger Wert (Endbetrag)
• IV = Anfangswert (Startbetrag)
• r = Wachstumsrate pro Zeitraum (als Dezimalzahl, z. B. 0,08 für 8 %)
• n = Anzahl der Zeiträume

Lösen nach verschiedenen Variablen

Dieser Rechner kann die Formel umstellen, um nach jeder Variablen aufzulösen, wenn Sie die anderen drei kennen:

Was ist CAGR (Compound Annual Growth Rate)?

CAGR steht für Compound Annual Growth Rate (deutsch: durchschnittliche jährliche Wachstumsrate) und stellt die mittlere jährliche Wachstumsrate einer Investition, einer Geschäftskennzahl oder eines beliebigen Wertes über einen bestimmten Zeitraum von mehr als einem Jahr dar. Es ist eine der genauesten Methoden, um Renditen für alles zu berechnen und zu bestimmen, was im Laufe der Zeit im Wert steigen oder fallen kann.

Warum die CAGR wichtig ist

Die CAGR ist wertvoll, weil sie:

• Volatilität glättet: Sie liefert eine einzige, konsistente Wachstumsrate, selbst wenn das tatsächliche Wachstum von Jahr zu Jahr stark schwankt.
• Vergleiche ermöglicht: Sie erlaubt es Ihnen, Investitionen oder Geschäftskennzahlen über verschiedene Zeiträume auf einer vergleichbaren Basis gegenüberzustellen.
• Zukunftswerte prognostiziert: Hilft bei der Vorhersage des zukünftigen Wachstums unter der Annahme, dass sich historische Wachstumsraten fortsetzen.
• Leistung misst: Sie stellt die geometrische Progression der Renditen einer Investition genau dar.

CAGR vs. durchschnittliche jährliche Rendite

Die CAGR unterscheidet sich von der einfachen durchschnittlichen jährlichen Rendite. Betrachten Sie eine Investition, die im ersten Jahr um 50 % wächst und im zweiten Jahr um 25 % sinkt:

• Einfacher Durchschnitt: (50 % - 25 %) ÷ 2 = 12,5 % durchschnittliche jährliche Rendite
• Tatsächliches Ergebnis: 100 € → 150 € → 112,50 € (nur 6,1 % Gesamtwachstum über 2 Jahre)
• CAGR: (112,50 € ÷ 100 €)^(1/2) - 1 = 6,06 % – spiegelt die tatsächliche Leistung genau wider.

Die CAGR berücksichtigt den Zinseszins und die Volatilität und ist damit ein genaueres Maß als die einfache Mittelwertbildung.

So verwenden Sie diesen Rechner

1. Identifizieren Sie Ihre bekannten Werte: Bestimmen Sie, welche drei der vier Variablen Sie kennen: Anfangswert, Anzahl der Zeiträume, Wachstumsrate oder zukünftiger Wert.
2. Geben Sie Ihre Werte ein: Tragen Sie die drei bekannten Werte in die entsprechenden Felder ein. Lassen Sie EIN Feld leer – dies ist der Wert, den der Rechner ermitteln wird.
3. Beispiele ausprobieren: Klicken Sie auf die Beispiel-Schaltflächen, um gängige Szenarien zu erkunden: Aktieninvestition (8 % jährliches Wachstum), Immobilienwachstum (4 % Wertsteigerung), Geschäftsumsatz (15 % Wachstum) oder Altersvorsorge (7 % Rendite).
4. Berechnen: Klicken Sie auf „Zinseszins-Wachstum berechnen“, um umfassende Ergebnisse zu generieren.
5. Ergebnisse analysieren: Überprüfen Sie den berechneten Wert (grün hervorgehoben), die Gesamtwachstumskennzahlen, die Verdoppelungszeit und die detaillierten Aufschlüsselungen.
6. Visualisierungen erkunden: Untersuchen Sie die interaktiven Diagramme, die Wachstumskurven und Perioden-Wachstumsmuster zeigen. Bewegen Sie den Mauszeiger über Datenpunkte, um genaue Werte zu sehen.

Ihre Ergebnisse verstehen

Erklärung der wichtigsten Kennzahlen

• Anfangswert: Der Startbetrag zum Zeitpunkt 0.
• Zukünftiger Wert: Der Endbetrag nach dem exponentiellen Wachstum.
• Anzahl der Zeiträume: Wie viele Zeiträume vergangen sind (Jahre, Monate, Quartale usw.).
• Zinseszins-Wachstumsrate: Der prozentuale Satz, der in jedem Zeitraum angewendet wird (dies ist die CAGR, wenn die Zeiträume Jahre sind).
• Gesamtwachstum: Der absolute Eurobetrag, der gewonnen wurde (Zukünftiger Wert - Anfangswert).
• Wachstum in Prozent: Der prozentuale Gesamtanstieg vom Anfangs- zum Zukunftswert.
• Durchschnittliches Periodenwachstum: Das mittlere absolute Wachstum pro Zeitraum (Gesamtwachstum ÷ Anzahl der Zeiträume).
• Verdoppelungszeit: Wie viele Zeiträume es dauert, bis sich der Wert bei der gegebenen Wachstumsrate verdoppelt.

Interaktive Visualisierungen

Der Rechner generiert zwei leistungsstarke Chart.js-Visualisierungen:

• Zinseszins-Wachstum im Zeitverlauf: Ein Liniendiagramm, das die exponentielle Wachstumskurve zeigt. Die durchgehende grüne Linie zeigt die tatsächlichen Werte im Zeitverlauf, während die gestrichelte blaue Linie den Anfangswert als Referenz darstellt. Diese Visualisierung verdeutlicht, wie sich das Wachstum beschleunigt – achten Sie darauf, wie die Kurve mit der Zeit steiler wird. Fahren Sie mit der Maus über die Datenpunkte, um exakte Werte zu sehen.
• Wachstum pro Zeitraum: Ein Balkendiagramm, das zeigt, wie viel Wert in jedem Zeitraum hinzugefügt wurde. Dies offenbart eine wichtige Erkenntnis: Beim exponentiellen Wachstum tragen spätere Zeiträume mehr zum absoluten Wachstum bei als frühere Zeiträume, auch wenn der Prozentsatz gleich bleibt. Die Balken werden mit der Zeit höher, was die beschleunigte Natur des Wachstums verdeutlicht.

Aufschlüsselung Zeitraum für Zeitraum

Die detaillierte Tabelle zeigt den Wert und das Wachstum in jedem Zeitraum und hilft Ihnen genau zu verstehen, wann und wie sich das Wachstum summiert. Bei Zeiträumen von mehr als 20 wird die Tabelle mit den ersten 10 und den letzten 10 Zeiträumen angezeigt, um die Anzeige übersichtlich zu halten und dennoch den vollen Wachstumsverlauf darzustellen.

Praxisnahe Anwendungen von exponentiellem Wachstum

Investitionsanalyse

Exponentielles Wachstum ist die Grundlage für Investitionsrenditen. Aktienindizes, Investmentfonds, ETFs und Einzelaktien zeigen über lange Zeiträume in der Regel ein exponentielles Wachstum. Das Verständnis der CAGR hilft Ihnen dabei:

• Verschiedene Anlagemöglichkeiten fair zu vergleichen.
• Die historische Performance von Aktien, Fonds oder Portfolios zu bewerten.
• Zukunftswerte für die Ruhestandsplanung zu prognostizieren.
• Zu beurteilen, ob eine Investition Ihre Ziele erreicht.

Geschäftsumsatz und Kennzahlen

Unternehmen verwenden die CAGR, um das Geschäftswachstum zu messen und zu kommunizieren:

• Umsatzwachstum: Verfolgung der Umsatzsteigerung über mehrere Jahre.
• Nutzerwachstum: Messung des Kundenstamms bei SaaS- und Technologieunternehmen.
• Marktanteil: Analyse der Wettbewerbsposition im Zeitverlauf.
• Rentabilitätskennzahlen: Verfolgung des Wachstums von Gewinnen, EBITDA oder Cashflow.

Immobilien-Wertsteigerung

Immobilien gewinnen in der Regel durch exponentielles Wachstum an Wert:

• Die historische Immobilienwertsteigerung beträgt in den USA durchschnittlich 3-4 % pro Jahr.
• Gewerbeimmobilienwerte verzinsen sich basierend auf Mietwachstum und sinkenden Kapitalisierungssätzen.
• Real Estate Investment Trusts (REITs) kombinieren Wertsteigerung mit der Reinvestition von Dividenden.

Altersvorsorge

Exponentielles Wachstum ist der Motor der Altersvorsorge:

• Vorsorgekonten wachsen durch Zinseszins-Renditen auf Investitionen.
• Dividenden-Reinvestitionen erzeugen einen Zinseszinseffekt innerhalb von Aktienbeständen.
• Ein früher Beginn erhöht die endgültigen Ersparnisse aufgrund längerer Zinseszinsperioden drastisch.

Bevölkerung und Demografie

Das Bevölkerungswachstum folgt in der Regel exponentiellen Mustern:

• Das weltweite Bevölkerungswachstum verzinst sich mit etwa 1 % pro Jahr.
• Stadt- und Regionalbevölkerungen wachsen oder schrumpfen mit exponentiellen Raten.
• Das Wachstum der Nutzerbasis bei Social-Media-Plattformen zeigt exponentielle Muster.

Wirtschaftsindikatoren

Viele Wirtschaftskennzahlen wachsen exponentiell:

• Das BIP-Wachstum (Bruttoinlandsprodukt) wird als CAGR gemessen.
• Inflation ist ein Zinseszinseffekt – Preise steigen basierend auf den Preisen des Vorjahres.
• Produktivitätsverbesserungen summieren sich im Laufe der Zeit.

Die Macht des exponentiellen Wachstums

Zeit ist der wichtigste Faktor

Je länger der Zeithorizont, desto dramatischer wird das exponentielle Wachstum. Betrachten Sie 10.000 €, die mit 8 % pro Jahr angelegt werden:

• 10 Jahre: 21.589 € (116 % Wachstum)
• 20 Jahre: 46.610 € (366 % Wachstum)
• 30 Jahre: 100.627 € (906 % Wachstum)
• 40 Jahre: 217.245 € (2.072 % Wachstum)

Beachten Sie, dass eine Verdoppelung des Zeitraums den Endwert aufgrund der exponentiellen Natur des Wachstums mehr als verdoppelt. Deshalb ist es so wichtig, früh mit dem Investieren zu beginnen – diese zusätzlichen Jahre des Zinseszinses haben eine enorme Wirkung.

Die 72er-Regel

Die 72er-Regel ist eine einfache Formel, um die Verdoppelungszeit für exponentielles Wachstum zu schätzen. Teilen Sie 72 durch den Prozentsatz der Wachstumsrate:

• Bei 8 % Wachstum: 72 ÷ 8 = 9 Jahre bis zur Verdoppelung.
• Bei 6 % Wachstum: 72 ÷ 6 = 12 Jahre bis zur Verdoppelung.
• Bei 12 % Wachstum: 72 ÷ 12 = 6 Jahre bis zur Verdoppelung.

Dieser Rechner bietet die exakte Berechnung der Verdoppelungszeit für höchste Präzision, die geringfügig von der Näherung der 72er-Regel abweichen kann.

Kleine Ratenunterschiede haben große Auswirkungen

Ein scheinbar kleiner Unterschied in der Wachstumsrate summiert sich im Laufe der Zeit dramatisch. Betrachten Sie 100.000 € über 30 Jahre:

• Bei 6 %: 574.349 € (4,7-faches Wachstum)
• Bei 7 %: 761.226 € (7,6-faches Wachstum)
• Bei 8 %: 1.006.266 € (10,1-faches Wachstum)

Ein Unterschied von nur 2 Prozentpunkten (6 % gegenüber 8 %) führt nach 30 Jahren zu 75 % mehr Vermögen. Dies verdeutlicht, warum Anlagegebühren, die Ihre effektive Rendite schmälern, über lange Zeiträume so schädlich sein können.

Exponentielles vs. lineares Wachstum

Lineares Wachstum (Einfach)

Lineares Wachstum fügt in jedem Zeitraum den gleichen absoluten Betrag hinzu. Die Formel lautet:

Zum Beispiel 10.000 € bei 10 % linearem Wachstum für 10 Jahre: 10.000 € + (10.000 € × 0,10 × 10) = 20.000 € (genau verdoppelt).

Exponentielles Wachstum (Zinseszins)

Mit demselben Beispiel bei 10 % exponentiellem Wachstum: 10.000 € × (1,10)^10 = 25.937 € (159 % Wachstum).

Der Unterschied wächst mit der Zeit

Bei 10.000 € mit 10 % Wachstum:

• 5 Jahre: Linear = 15.000 €, Exponentiell = 16.105 € (7,4 % Vorteil)
• 10 Jahre: Linear = 20.000 €, Exponentiell = 25.937 € (29,7 % Vorteil)
• 20 Jahre: Linear = 30.000 €, Exponentiell = 67.275 € (124 % Vorteil)
• 30 Jahre: Linear = 40.000 €, Exponentiell = 174.494 € (336 % Vorteil)

Der Vorteil des exponentiellen Wachstums wird über längere Zeiträume exponentiell größer, weshalb es für den langfristigen Vermögensaufbau so mächtig ist.

Negative Wachstumsraten

Dieser Rechner unterstützt negative Wachstumsraten, um Wertminderung, Wertverlust oder schrumpfende Märkte zu modellieren. Eine negative Wachstumsrate bedeutet, dass der Wert in jedem Zeitraum gemäß der Zinseszinsformel sinkt.

Anwendungen von negativem exponentiellem Wachstum

• Wertverlust von Vermögenswerten: Fahrzeuge, Geräte und Technologie verlieren in der Regel exponentiell an Wert.
• Marktrückgänge: Börsenkorrekturen oder Bärenmärkte summieren Verluste.
• Bevölkerungsrückgang: Einige Regionen verzeichnen einen exponentiellen Bevölkerungsrückgang.
• Schuldenabbau: In umgekehrter Modellierung stellt die Tilgung des Kapitals ein negatives Wachstum des Schuldenstandes dar.

Beispiel: Wertverlust

Ein Auto im Wert von 30.000 €, das jährlich um 15 % an Wert verliert:

• Jahr 1: 30.000 € × 0,85 = 25.500 € (4.500 € verloren)
• Jahr 2: 25.500 € × 0,85 = 21.675 € (3.825 € verloren)
• Jahr 5: 30.000 € × 0,85^5 = 13.308 € (56 % Wertverlust)

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist exponentielles Wachstum (Compound Growth)?

Exponentielles Wachstum ist der Prozess, bei dem ein Wert im Laufe der Zeit basierend auf einer konstanten prozentualen Wachstumsrate exponentiell ansteigt. Das Wachstum jeder Periode baut auf dem Gesamtwert der vorherigen Periode auf, wodurch ein Zinseszinseffekt entsteht. Die Formel für das exponentielle Wachstum lautet: Zukünftiger Wert = Anfangswert × (1 + Wachstumsrate)^Zeiträume. Dieses Konzept ist im Finanzwesen von grundlegender Bedeutung für die Analyse von Investitionen, Geschäftswachstum, Bevölkerungsdynamik und wirtschaftlichen Trends.

Was ist CAGR und wie wird sie berechnet?

CAGR (Compound Annual Growth Rate) ist die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate einer Investition über einen bestimmten Zeitraum, der länger als ein Jahr ist. Sie stellt die geglättete jährliche Rate dar, die den gleichen Endwert ergeben würde, wenn das Wachstum jedes Jahr stetig erfolgt wäre. Die CAGR wird mit der Formel berechnet: CAGR = (Endwert / Anfangswert)^(1 / Anzahl der Jahre) - 1. Wenn beispielsweise eine Investition in 5 Jahren von 10.000 € auf 20.000 € anwächst, beträgt die CAGR etwa 14,87 %.

Wie verwende ich diesen Wachstumsrate-Rechner?

Geben Sie drei der vier Werte ein: Anfangswert, Anzahl der Zeiträume, Wachstumsrate (%) und zukünftiger Wert. Lassen Sie EIN Feld leer – der Rechner wird diesen fehlenden Wert ermitteln. Um beispielsweise den zukünftigen Wert einer Investition von 10.000 € zu finden, die 10 Jahre lang um 8 % wächst, geben Sie diese drei Werte ein und lassen Sie den zukünftigen Wert leer. Klicken Sie auf Berechnen, um umfassende Ergebnisse einschließlich interaktiver Diagramme, Zeitraumaufschlüsselung, Gesamtwachstum und Verdoppelungszeit anzuzeigen.

Was ist der Unterschied zwischen exponentiellem und linearem Wachstum?

Lineares Wachstum fügt in jedem Zeitraum den gleichen absoluten Betrag hinzu (z. B. +100 € pro Jahr), was zu einem gleichmäßigen Anstieg führt. Exponentielles Wachstum wendet in jedem Zeitraum den gleichen Prozentsatz auf den aktuellen Wert an, sodass der absolute Wachstumsbetrag im Laufe der Zeit zunimmt. Beispielsweise werden aus 1.000 € bei 10 % linearem Wachstum in 10 Jahren 2.000 €, während 10 % exponentielles Wachstum 2.593,74 € ergeben – ein Unterschied von 29,7 %. Über längere Zeiträume übertrifft das exponentielle Wachstum das lineare Wachstum aufgrund des Zinseszinseffekts bei weitem.

Was ist die 72er-Regel für die Verdoppelungszeit?

Die 72er-Regel ist eine einfache Kopfrechenformel, um zu schätzen, wie lange es dauert, bis sich eine Investition bei einer gegebenen Wachstumsrate verdoppelt. Teilen Sie einfach 72 durch den Prozentsatz der jährlichen Wachstumsrate. Bei 8 % Wachstum beträgt die Verdoppelungszeit beispielsweise etwa 72 ÷ 8 = 9 Jahre. Bei 6 % Wachstum dauert es etwa 12 Jahre. Dieser Rechner bietet die exakte Berechnung der Verdoppelungszeit für höchste Präzision, die geringfügig von der Näherung der 72er-Regel abweichen kann.

Kann ich negative Wachstumsraten berechnen?

Ja, dieser Rechner unterstützt negative Wachstumsraten, um Wertverlust, Wertminderung oder schrumpfende Märkte zu modellieren. Eine negative Wachstumsrate bedeutet, dass der Wert in jedem Zeitraum sinkt. Ein Wachstum von -5 % auf 10.000 € über 10 Jahre führt beispielsweise zu einem zukünftigen Wert von 5.987,37 €. Negative Raten sind nützlich für die Analyse von Abschreibungen auf Vermögenswerte, Marktrückgängen, Bevölkerungsrückgang oder Szenarien zur Kostensenkung. Der Rechner akzeptiert Raten von -99 % bis 999 %.

Warum ist ein früher Start beim exponentiellen Wachstum so wichtig?

Die Zeit ist aufgrund der exponentiellen Natur der wichtigste Faktor beim exponentiellen Wachstum. Jedes zusätzliche Jahr fügt nicht nur mehr Wachstum hinzu – es ermöglicht es dem gesamten vorherigen Wachstum, sich für einen weiteren Zeitraum zu verzinsen. Beispielsweise wachsen 5.000 €, die mit 8 % über 40 Jahre angelegt werden, auf 108.622 €, während der gleiche Betrag, der nur 30 Jahre lang angelegt wird, nur auf 50.313 € anwächst. Diese zusätzlichen 10 Jahre verdoppeln den Endwert mehr als. Ein früher Start gibt Ihrem Geld die maximale Zeit zum Arbeiten.

Was ist der Unterschied zwischen CAGR und durchschnittlicher jährlicher Rendite?

Die CAGR berücksichtigt den Zinseszinseffekt und liefert die geometrische mittlere Wachstumsrate, während die durchschnittliche jährliche Rendite das arithmetische Mittel ist. Die CAGR ist viel genauer für die Messung der tatsächlichen Anlageleistung. Wenn beispielsweise eine Investition in einem Jahr um 50 % steigt und im nächsten um 25 % fällt, beträgt die einfache durchschnittliche Rendite 12,5 %, aber die CAGR beträgt nur 6,06 % (von 100 € auf 112,50 € über 2 Jahre). Die CAGR liefert immer die wahre annualisierte Gesamtrendite.

Zusätzliche Ressourcen

Um mehr über exponentielles Wachstum und CAGR zu erfahren:

• Wachstumsrate – Wikipedia
• CAGR erklärt – Investopedia (Englisch)
• Zinseszins – Investopedia (Englisch)

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