海倫公式計算機

海倫公式計算機

海倫公式計算機用於在已知三角形三邊長的情況下計算其面積。輸入邊長 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)，即可立即使用海倫公式 \(A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) 獲得面積，其中 \(s = \frac{a+b+c}{2}\) 是半周長。此計算機還提供周長、所有三個高、內角、內切圓半徑、外接圓半徑以及帶有逐步公式和互動圖解的三角形分類。

什麼是海倫公式？

海倫公式（有時也稱為希羅公式）是以亞歷山大港的希羅（一位生活在西元 1 世紀的希臘數學家）命名的。它讓您僅使用三個邊長就能計算三角形的面積，無需知道角度或高。公式為：

$$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

其中 \(s = \frac{a+b+c}{2}\) 是半周長（周長的一半）。這個優雅的公式適用於所有類型的三角形——正三角形、等腰三角形、不等邊三角形、銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。

現實世界的應用

關鍵公式

如何使用海倫公式計算機

1. 輸入邊長： 輸入三角形的三個邊長 (a, b, c)。您可以使用十進位數值，或點擊快速範例按鈕來自動填充樣本值。
2. 預覽三角形： 當您輸入時，即時三角形預覽會即時更新，顯示實際形狀和比例以及快速面積估計。
3. 點擊計算面積： 按下按鈕計算所有結果。計算機會自動驗證三角形不等式。
4. 查看結果： 查看面積、周長、半周長、所有三個高、內角、內切圓半徑、外接圓半徑和三角形分類。使用圖解切換開關顯示或隱藏高、角度、內切圓和外接圓。

三角形邊長不等式定理

並非任意三個正數的組合都能形成三角形。三角形邊長不等式定理要求任意兩邊之和必須大於第三邊：\(a + b > c\)、\(a + c > b\) 且 \(b + c > a\)。如果不滿足其中任何一個條件，這三個長度就無法形成有效的三角形。此計算機會自動檢查此條件，如果邊長無效則顯示錯誤訊息。

三角形類型

三角形可以按邊和角進行分類。按邊分類： 正三角形三邊相等，等腰三角形恰好兩邊相等，不等邊三角形三邊均不相等。按角分類： 銳角三角形所有角均小於 90°，直角三角形有一個角恰好為 90°，鈍角三角形有一個角大於 90°。此計算機會自動判定這兩種分類。

內切圓半徑與外接圓半徑

內切圓半徑 (\(r\)) 是內切圓的半徑——即能放入三角形內部並與三邊相切的最大圓。計算公式為 \(r = A/s\)。外接圓半徑 (\(R\)) 是外接圓的半徑——即通過所有三個頂點的圓。計算公式為 \(R = abc/(4A)\)。這兩個半徑由歐拉公式聯繫起來：內心與外心之間的距離為 \(\sqrt{R^2 - 2Rr}\)。

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