海倫公式計算機
已知三角形三邊時，MiniWebtool 的 Heron 海龍公式計算工具無須角度即可求面積。工具也會推導半周長及相關測量值，並用圖示呈現由輸入值定義的三角形。
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在下方輸入三邊的長度，即可得到面積、半周長、高和角，並附上步驟。
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海倫公式計算機
海倫公式計算機用於在已知三角形三邊長的情況下計算其面積。輸入邊長 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)，即可立即使用海倫公式 \(A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) 獲得面積，其中 \(s = \frac{a+b+c}{2}\) 是半周長。此計算機還提供周長、所有三個高、內角、內切圓半徑、外接圓半徑以及帶有逐步公式和互動圖解的三角形分類。
功能概覽
海倫公式計算機 由三邊長求三角形面積，不需要角度或高。它也給出周長、各邊的高、角、內切圓半徑、外接圓半徑與三角形類型。
| 功能 | 提供內容 | 適用情境 |
|---|---|---|
| 三邊 | 輸入邊 a、b、c，以及邊長的單位。快速範例包括正三角形、等腰三角形、直角三角形（3-4-5）、鈍角三角形與不等邊三角形。 | 只知道邊長的三角形 |
| 三角不等式檢查 | 計算機會檢查任意兩邊之和是否大於第三邊，若三邊無法構成三角形則顯示錯誤。 | 抓出量測錯誤 |
| 精確根式形式 | 對於整數或簡單小數的邊長，面積也會以化簡後的根式形式出現，例如邊長 5、6、7 的面積為 6√6。 | 要求精確答案的作業 |
| 完整三角形細節 | 顯示半周長、周長、三條高、內角、內切圓半徑、外接圓半徑，以及依邊與角的分類。 | 一次取得三角形的所有量測值 |
| 圖形 | 即時預覽與圖形，可切換高、角、內切圓與外接圓的顯示。 | 看見您的邊長所定義的形狀 |
| 多個三角形 | 每行輸入一個三角形即可加總面積。總面積會換算為平方英尺、平方公尺、英畝與公頃。 | 估算切分為三角形的不規則地塊 |
什麼是海倫公式？
海倫公式（有時也稱為希羅公式）是以亞歷山大港的希羅（一位生活在西元 1 世紀的希臘數學家）命名的。它讓您僅使用三個邊長就能計算三角形的面積，無需知道角度或高。公式為：
$$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$
其中 \(s = \frac{a+b+c}{2}\) 是半周長（周長的一半）。這個優雅的公式適用於所有類型的三角形——正三角形、等腰三角形、不等邊三角形、銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。
現實世界的應用
關鍵公式
| 屬性 | 公式 | 描述 |
|---|---|---|
| 半周長 | \(s = \frac{a+b+c}{2}\) | 三角形周長的一半 |
| 面積 (海倫公式) | \(A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) | 由三邊長計算出的面積 |
| 高 | \(h_a = \frac{2A}{a}\) | 垂直於邊 \(a\) 的高度 |
| 內切圓半徑 | \(r = \frac{A}{s}\) | 內切圓的半徑 |
| 外接圓半徑 | \(R = \frac{abc}{4A}\) | 外接圓的半徑 |
| 角度 (餘弦定理) | \(\angle A = \arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\) | 邊 \(a\) 對應的內角 |
如何使用海倫公式計算機
- 輸入邊長： 輸入三角形的三個邊長 (a, b, c)。您可以使用十進位數值，或點擊快速範例按鈕來自動填充樣本值。
- 預覽三角形： 當您輸入時，即時三角形預覽會即時更新，顯示實際形狀和比例以及快速面積估計。
- 點擊計算面積： 按下按鈕計算所有結果。計算機會自動驗證三角形不等式。
- 查看結果： 查看面積、周長、半周長、所有三個高、內角、內切圓半徑、外接圓半徑和三角形分類。使用圖解切換開關顯示或隱藏高、角度、內切圓和外接圓。
三角形邊長不等式定理
並非任意三個正數的組合都能形成三角形。三角形邊長不等式定理要求任意兩邊之和必須大於第三邊：\(a + b > c\)、\(a + c > b\) 且 \(b + c > a\)。如果不滿足其中任何一個條件，這三個長度就無法形成有效的三角形。此計算機會自動檢查此條件，如果邊長無效則顯示錯誤訊息。
三角形類型
三角形可以按邊和角進行分類。按邊分類： 正三角形三邊相等，等腰三角形恰好兩邊相等，不等邊三角形三邊均不相等。按角分類： 銳角三角形所有角均小於 90°，直角三角形有一個角恰好為 90°，鈍角三角形有一個角大於 90°。此計算機會自動判定這兩種分類。
內切圓半徑與外接圓半徑
內切圓半徑 (\(r\)) 是內切圓的半徑——即能放入三角形內部並與三邊相切的最大圓。計算公式為 \(r = A/s\)。外接圓半徑 (\(R\)) 是外接圓的半徑——即通過所有三個頂點的圓。計算公式為 \(R = abc/(4A)\)。這兩個半徑由歐拉公式聯繫起來：內心與外心之間的距離為 \(\sqrt{R^2 - 2Rr}\)。
常見問題 (FAQ)
引用此內容、頁面或工具為：
"海倫公式計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/海倫公式計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/
由 MiniWebtool 團隊編寫。更新日期：2026-04-04
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