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圓的切線計算機

求出圓外一點到圓的切線方程式。輸入圓方程式與點座標，得出切線、切線長、切點與夾角，並附逐步解題與互動圖。

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範例：
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◎ 圓的參數
(x − h)² + (y − k)² = r²
x-座標
y-座標
必須 > 0
◆ 外部點 P

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圓的切線計算機

圓的切線計算機可計算從給定點到圓的切線方程式。輸入圓心和半徑以及外部點，即可立即求得切線方程式、切點、切線長度、切線夾角，以及包含互動式 SVG 圖表的詳細逐步解題過程。

圓切線的關鍵概念

⟋
切線
與圓僅接觸於一個點的直線
●
切點
切線與圓接觸之處 — 半徑在此垂直
↔
切線長度
L = √(d² − r²)，同點出發之兩切線長度相等
∠
切線夾角
兩條切線之間的夾角 = 2·arcsin(r/d)

切線公式

對於圓心為 \(C(h, k)\) 且半徑為 \(r\) 的圓，以及一個外部點 \(P(x_0, y_0)\)：

性質公式說明
到圓心的距離\(d = \sqrt{(x_0-h)^2 + (y_0-k)^2}\)點 P 到圓心 C 的距離
切線長度\(L = \sqrt{d^2 - r^2}\)從 P 到各切點的長度（兩者相等）
切線數量\(d > r\): 2, \(d = r\): 1, \(d < r\): 0取決於點相對於圓的位置
切線夾角\(2\alpha = 2 \arcsin(r/d)\)點 P 處兩條切線之間的夾角
點的冪\(\text{pow} = d^2 - r^2 = L^2\)圓幾何中的基本不變量

點的位置與切線數量

從一點到圓可繪製的切線數量取決於該點到圓心的距離：

如何求從一點到圓的切線

  1. 輸入圓的參數： 輸入圓心座標 (h, k) 和半徑 r。若圓心在原點，請將 h 和 k 保持為 0。
  2. 輸入點： 輸入點 P 的 x 和 y 座標。點擊快速範例可自動填充常見配置的數值。
  3. 點擊計算： 按下「計算切線」來計算切線方程式。
  4. 解讀結果： 查看切線方程式、切點、切線長度以及切線之間的夾角。
  5. 探索圖表： 切換切線、切點半徑、直角標記和標籤的覆蓋層，以視覺化幾何關係。

圓切線的應用

圓的切線出現在數學、科學和工程的各個領域。在光學中，切線代表從圓形鏡面反射的光線。在機器人與路徑規劃中，圓形障礙物之間的切線定義了最短的無碰撞路徑（Dubins 路徑）。在電腦圖學中，切線計算可用於平滑曲線渲染、反鋸齒和碰撞檢測。基於切線長度建立的點的冪和根軸概念，是高等歐幾里得幾何和反演幾何的基礎。

點的冪定理

點 P 對於圓的冪定義為 \(d^2 - r^2\)，其中 d 是 P 到圓心的距離，r 是半徑。對於外部點，這等於切線長度的平方：\(L^2 = d^2 - r^2\)。對於外部點，冪為正值；對於圓上的點，冪為零；對於內部點，冪為負值。這個不變量對於證明許多圓定理和構建根軸至關重要。

FAQ

什麼是圓的切線？
圓的切線是一條與圓僅接觸於一個點的直線，該點稱為切點。在該點，切線垂直於連向切點的半徑。這種垂直性是用於代數推導切線方程式的關鍵性質。
從一點到圓可以畫出多少條切線？
數量取決於點的位置：如果點在圓外 (d > r)，存在兩條切線。如果點在圓上 (d = r)，存在一條切線。如果點在圓內 (d < r)，則無法從該點畫出切線。
如何計算從點到圓的切線長度？
從外部點 P 到圓心為 C 且半徑為 r 的圓的切線長度為 L = sqrt(d² - r²)，其中 d 是 P 到圓心 C 的距離。一個基本性質是，從同一個外部點繪製的兩條切線段長度總是相等。
從外部點出發的兩條切線之間的夾角是多少？
從外部點 P 繪製的兩條切線之間的夾角等於 2·arcsin(r/d)，其中 r 是半徑，d 是點到圓心的距離。隨著點遠離圓，夾角會減小，切線會趨於平行。
切線與切點處的半徑有什麼關係？
圓上任何一點的切線總是垂直 (90°) 於連向該點的半徑。這種垂直性質是歐幾里得幾何中的基本定理，也是代數計算切線方程式的基礎。

引用此內容、頁面或工具為：

"圓的切線計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/圓的切線計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 MiniWebtool 團隊製作。更新日期：2026-04-04

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