电场计算器

电场计算器用于计算由一个或多个点电荷产生的电场强度。对于单源问题，使用公式 \( E = k_{e}\,q / (\varepsilon_{r}\, r^{2}) \) 进行计算；对于多元电荷问题，使用完全的向量叠加公式 \( \vec{E}_{\text{net}} = \sum_{i} \vec{E}_{i} \)。本工具可在“单电荷模式”（在单个表单中求解 E、q 或 r）和“多元电荷模式”（在 2D 平面中的任何位置放置多达六个电荷，并读取任意测试点 P 处的净电场）之间切换。支持输入库仑（C）、微库仑（µC）、纳库仑（nC）或元电荷（e）单位。计算器将返回以 V/m 和 N/C 为单位的场强大小、Eₓ 和 Eᵧ 分量、方向角 θ、测试点处的电势 V、1 µC 探针电荷上的受力以及 LaTeX 格式的逐步推导过程。实时 SVG 画布会随着您的输入同步重绘电荷球（红色代表 +，蓝色代表 −）、各个电荷的电场贡献箭头以及最终合成的净电场向量。

如何使用此电场计算器

1. 在顶部选择一种模式。单点电荷使用闭合形式的公式 \( E = kq/r^{2} \)。多元电荷叠加可让您在 2D 平面中放置多达六个电荷，并在任何选定的测试点处读取总的净场强向量。
2. 在单电荷模式下，选择要要求解的未知量（E、q 或 r）— 对应的输入框会自动隐藏，以防不小心造成过度约束。接着在其它的两个输入框中输入数值并选择偏好的单位。
3. 在多元模式下，为每个源电荷填写一行（电荷值 + 单位 + x 坐标 + y 坐标）。留空则表示跳过该槽位。然后输入测试点坐标（x, y）及共享的坐标单位。
4. 选择周围的介质。真空和空气保持电场不变。在 εᵣ ≈ 80 的水中，电场将减弱到约 1/80。对于不常见的特殊电介质，请选择自定义 εᵣ。
5. 点击计算，即可读取场强大小、方向、每个电荷的分步贡献、逐步推导过程以及动态的电场线/叠加映射图。

是什么让这款计算器与众不同

一句话公式

对于在相对介电常数为 \( \varepsilon_{r} \) 的介质中、距离为 \( r \) 且数值为 \( q \) 的单个点电荷，其电场强度大小为：

\[ E \;=\; k_{e}\,\dfrac{q}{\varepsilon_{r}\,r^{2}} \]

其中 \( k_{e} = 1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 8.9875 \times 10^{9}\) N·m²/C² 为库仑常数。电场是一个向量，其方向从正源电荷沿径向向外，或沿径向向内指向负源电荷 — 也就是说，它代表了正测试电荷被推（或被拉）的方向。

对于多个电荷，根据叠加原理，任意一点的净电场是各个电荷独立产生的电场贡献的向量和：

\[ \vec{E}_{\text{net}}(\vec{r}) \;=\; \sum_{i} k_{e}\,\dfrac{q_{i}}{\varepsilon_{r}\,|\vec{r}-\vec{r}_{i}|^{2}}\,\hat{r}_{i} \]

计算器会分别计算出每个 \( \vec{E}_{i} \)，将其分解为 Eₓ 和 Eᵧ 分量，然后按分量求和，最后重构出场强大小 \(|E| = \sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}\) 和方向角 \( \theta = \arctan(E_{y}/E_{x}) \)。

计算实例：10 cm 处的 1 µC

• \( E = (8.9875 \times 10^{9}) \times (1 \times 10^{-6}) / (0.10)^{2} \approx 8.99 \times 10^{5}\) V/m — 约为 900 kV/m。
• 该电场从正电荷向外辐射。放置在该处的自由电子将感受到一个大小为 \( F = qE \approx 1.44 \times 10^{-13}\) N、指向源电荷的电场力。
• 该距离下的电势为：\( V = kq/r \approx 89.9\) kV — 这也解释了为什么即使是带有少量静电的导体也能给人带来明显的电击感。

计算实例：电偶极子

将 \(+1\) µC 放置在 \((-2\) cm, 0) 处，将 \(-1\) µC 放置在 \((+2\) cm, 0) 处。测试点位于该偶极子的*中点*正上方 \((0, 1\) cm)\) 处。

• 每个电荷到测试点 P 的距离：\( r = \sqrt{2^{2}+1^{2}}\) cm \(= \sqrt{5}\) cm ≈ 2.24 cm。
• 每个电荷产生的电场贡献大小为 \( |E_{i}| = kq/r^{2} \approx 1.8 \times 10^{7}\) V/m。
• 由于对称性，y 分量相互抵消；x 分量沿着 −x 方向（指向负电荷）相加。合成后的净电场水平指向负电荷，大小约为 \( 2 \times |E_{i}| \cos\theta \)，其中 \(\cos\theta = 2/\sqrt{5}\)。
• 这就是经典的“偶极子电场”，在未来学习极性分子、天线或核磁共振（NMR）时，你还会经常遇到它。

电场 vs 电场力 vs 电势

这三个物理量描述的是相关但不同的概念：

• 电场 \(\vec{E}\) (V/m 或 N/C) — 空间中某点处每单位正测试电荷所受到的力。即使没有放置测试电荷，它也客观存在。属于向量。
• 电场力 \(\vec{F} = q\vec{E}\) (牛顿) — 当你把一个电荷 \(q\) 放在电场中时，它实际受到的机械力。属于向量。
• 电势 \(V\) (伏特) — 将单位正测试电荷从无穷远处移到该点时，电场力所做的功（或外界克服电场力做的功）。属于标量。它的负梯度就是电场：\(\vec{E} = -\nabla V\)。

本计算器会同时返回这三个物理量，以便你融会贯通地进行交叉比对。

常见电场强度数量级

多元电荷问题的解题技巧

• 首先利用对称性。 如果电荷相对于测试点呈对称分布，某些分量会完全抵消。计算器可以验证这一点 — 你会看到 Eₓ 或 Eᵧ 的输出结果（非常接近）为零。
• 仔细选择测试点。 将测试点选在对称轴上可以极大地简化数学计算（并方便你对计算器的输出进行直观的理性质检）。
• 注意正负号。 正电荷的贡献箭头从源电荷指向测试点；负电荷的贡献箭头从测试点指向源电荷。如果把符号搞反，合成场强的方向就会错位 180°。
• 坐标单位是共享的。 所有六个电荷以及测试点都必须使用你在多元电荷部分底部选择的同一种坐标单位。这能确保几何结构的整体一致性。

常见问题解答

点电荷的电场公式是什么？
\( E = k_{e}\,q / r^{2} \)，其中 \(k_{e} \approx 8.9875 \times 10^{9}\) N·m²/C²。正电荷的电场方向向外，负电荷的电场方向向内。

电场的单位是什么？
SI 单位为 V/m（伏特每米），等价于 N/C（牛顿每库仑）。计算器全面接受这两种表述并在内部进行自动换算。

如何叠加多个电荷的电场？
使用向量叠加：将每个电荷的场强贡献计算为一个 2D 向量，分别对 x 分量和 y 分量进行代数求和，然后利用公式 \(\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}\) 重构场强大小，利用 \(\arctan(E_{y}/E_{x})\) 重构方向。本计算器的多元电荷模式可自动完成该项烦琐的流程。

电场和电场力有什么区别？
电场描述的是源电荷对周围空间施加的一种物理物理影响。而电场力 \( F = qE \) 则是指当你把另一个电荷 \(q\) 放入该电场时所发生的受力行为。电场无处不在，而电场力只作用于实际存在于该处的电荷上。

源电荷之间的介质会改变电场吗？
是的。电场强度需要除以介质的相对介电常数 εᵣ。空气 ≈ 1，水 ≈ 80。同一个源电荷在水中产生的电场要比在真空中弱约 80 倍 — 这也是为什么离子盐极易溶于水却极难溶于油的原因。

空气的介电击穿场强是多少？
在海平面干燥空气中约为 3 × 10⁶ V/m (3 MV/m)。超过这个临界值，空气会被电离，导致几何结构发生火花放电。计算器会自动对超出此阈值的结果进行高亮提示。

我可以反过来求解源电荷量或距离吗？
可以 — 在单电荷模式下使用求解目标下拉菜单。计算器会自动将 \( E = kq/r^{2} \) 重新配置为对应的闭合方程（\( q = E\varepsilon_{r}r^{2}/k \) 或 \( r = \sqrt{kq/(\varepsilon_{r}E)} \)）并隐藏未知的输入框。

为什么我的合成净场强算出来是零？
如果两个大小相等、符号相反的电荷放置在相对于测试点镜面对称的位置上，它们所产生的场强分量在特定方向上会完全抵消 — 例如偶极子垂直平分线中点处的轴向场强即为零。这是纯粹的物理定理，而不是计算器的程序错误。你可以试着将测试点移开对称面，就能看到非零的电场了。