เครื่องคำนวณอัตราที่เกี่ยวข้อง
เลือกสถานการณ์เช่น บันไดที่เลื่อน กรวยที่กำลังเติม ทรงกลมที่ขยาย หรือลูกโป่ง แล้วกรอกอัตราที่รู้ จะได้อัตราที่เกี่ยวข้องพร้อมขั้นตอน
ตัวบล็อกโฆษณาของคุณทำให้เราแสดงโฆษณาไม่ได้
MiniWebtool ให้ใช้ฟรีได้เพราะมีโฆษณา หากเครื่องมือนี้ช่วยคุณได้ โปรดสนับสนุนเราด้วยการอัปเกรดเพื่อใช้งานแบบไม่มีโฆษณาและใช้ได้มากขึ้นต่อวัน หรืออนุญาต MiniWebtool.com แล้วโหลดใหม่
- อนุญาตโฆษณาสำหรับ MiniWebtool.com แล้วโหลดใหม่
- หรืออัปเกรดเพื่อไม่มีโฆษณาและมีโควตาต่อวันที่สูงขึ้น
เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณอัตราที่เกี่ยวข้อง
เครื่องคำนวณอัตราที่เกี่ยวข้อง ช่วยคุณตั้งโจทย์และแก้ปัญหาอัตราที่เกี่ยวข้องจากแคลคูลัสโดยใช้การอนุพันธ์โดยปริยายและกฎลูกโซ่ เพียงกรอกค่าที่คุณทราบสำหรับปัญหาทั่วไปหนึ่งในแปดประเภท — ทรงกลมที่กำลังขยายตัว, บันไดที่ลื่นไถล, กรวยที่กำลังเติมน้ำ, ระลอกคลื่นในน้ำ, ความยาวเงา, รถยนต์ที่กำลังแล่นเข้าหากัน, ลูกโป่งที่กำลังพองออก หรือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่กำลังเปลี่ยนแปลง — และรับวิธีทำแบบละเอียดทีละขั้นตอนพร้อมแผนภาพเคลื่อนไหวที่แสดงให้เห็นว่าปริมาณต่างๆ เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาอย่างไร
อัตราที่เกี่ยวข้องคืออะไร?
อัตราที่เกี่ยวข้องเป็นเทคนิคในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สำหรับการหาอัตราที่ปริมาณหนึ่งเปลี่ยนแปลงโดยเชื่อมโยงกับปริมาณอื่นๆ ที่ทราบอัตราการเปลี่ยนแปลง เครื่องมือหลักคือ การอนุพันธ์โดยปริยาย: คุณหาอนุพันธ์ของสมการที่แสดงความสัมพันธ์ของตัวแปรเทียบกับเวลา \(t\) โดยใช้กฎลูกโซ่กับแต่ละพจน์ สิ่งนี้จะสร้างสมการที่เชื่อมโยงอัตราต่างๆ เช่น \(\frac{dx}{dt}\), \(\frac{dy}{dt}\) เป็นต้น ซึ่งคุณสามารถนำไปแก้หาอัตราที่ไม่ทราบค่าได้
วิธีการแบบ 5 ขั้นตอน
ประเภทของปัญหาที่รองรับ
| ปัญหา | ความสัมพันธ์ | หลังจากการหาอนุพันธ์ |
|---|---|---|
| ทรงกลมที่กำลังขยายตัว | \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) | \(\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\) |
| บันไดที่ลื่นไถล | \(x^2 + y^2 = L^2\) | \(2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0\) |
| กรวยที่กำลังเติมน้ำ | \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\) | \(\frac{dV}{dt} = \frac{R^2\pi}{H^2} h^2 \frac{dh}{dt}\) |
| ระลอกคลื่นในน้ำ | \(A = \pi r^2\) | \(\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}\) |
| ความยาวเงา | \(\frac{H}{x+s} = \frac{h}{s}\) | \(\frac{ds}{dt} = \frac{h}{H-h} \frac{dx}{dt}\) |
| รถยนต์ที่กำลังแล่นเข้าหากัน | \(z^2 = x^2 + y^2\) | \(z\frac{dz}{dt} = x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt}\) |
| ลูกโป่งที่กำลังพองออก | \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) | \(\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\) |
| รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่กำลังเปลี่ยนแปลง | \(A = l \times w\) | \(\frac{dA}{dt} = \frac{dl}{dt}w + l\frac{dw}{dt}\) |
การประยุกต์ใช้งานในชีวิตจริง
วิธีใช้งาน เครื่องคำนวณอัตราที่เกี่ยวข้อง
- เลือกประเภทของปัญหา: คลิกที่การ์ดสถานการณ์หนึ่งในแปดแบบ (ทรงกลมขยายตัว, บันไดลื่นไถล ฯลฯ) หรือใช้ตัวอย่างด่วนเพื่อกรอกข้อมูลอัตโนมัติ
- กรอกค่าที่ทราบ: กรอกขนาดปัจจุบันและอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ทราบสำหรับปัญหาของคุณ
- เลือกสิ่งที่ต้องการหา: ใช้เมนูแบบดึงลงเพื่อเลือกอัตราที่คุณไม่ทราบค่าที่ต้องการหา
- คลิก แก้ไขปัญหา: กดปุ่ม "แก้ไขปัญหาอัตราที่เกี่ยวข้อง" เพื่อรับผลลัพธ์
- ทบทวนวิธีทำ: ศึกษาแผนภาพเคลื่อนไหว, การ์ดสรุปผลที่แสดงความสัมพันธ์และรูปแบบกฎลูกโซ่ และกระบวนการอนุพันธ์โดยปริยายแบบทีละขั้นตอนอย่างสมบูรณ์
แนวคิดแคลคูลัสที่สำคัญที่ใช้
กฎลูกโซ่ (Chain Rule): หาก \(y = f(g(t))\) แล้ว \(\frac{dy}{dt} = f'(g(t)) \cdot g'(t)\) ในปัญหาอัตราที่เกี่ยวข้อง ทุกตัวแปรเป็นฟังก์ชันของเวลา ดังนั้นการหาอนุพันธ์ของ \(r^2\) จะได้ \(2r \frac{dr}{dt}\) ไม่ใช่แค่ \(2r\)
การอนุพันธ์โดยปริยาย (Implicit Differentiation): แทนที่จะแก้หาตัวแปรตัวหนึ่งก่อน คุณจะหาอนุพันธ์ของทั้งสมการในรูปแบบเดิม โดยถือว่าแต่ละตัวแปรเป็นฟังก์ชันของ \(t\) วิธีนี้จะทำให้เกิดพจน์ของอัตรา \(\frac{dx}{dt}\), \(\frac{dy}{dt}\) ฯลฯ ขึ้นมาเองตามธรรมชาติ
กฎผลคูณ (Product Rule): เมื่อมีการคูณกันของสองปริมาณที่เปลี่ยนแปลง (เช่น \(A = l \times w\)) กฎผลคูณจะให้ค่า \(\frac{dA}{dt} = \frac{dl}{dt} \cdot w + l \cdot \frac{dw}{dt}\) ทั้งสองพจน์มีความสำคัญเพราะทั้งสองมิติมีการเปลี่ยนแปลง
เคล็ดลับในการแก้ปัญหาอัตราที่เกี่ยวข้อง
- อย่าแทนค่าตัวเลขก่อนการหาอนุพันธ์ ต้องหาอนุพันธ์ของสมการในรูปแบบทั่วไปก่อน แล้วจึงแทนค่าของขณะเวลานั้นๆ ลงไป
- ระวังเครื่องหมาย อัตราที่เป็นลบหมายความว่าปริมาณนั้นกำลังลดลง ตัวอย่างเช่น หากรถกำลังแล่นเข้าหาสี่แยก ระยะทางจะลดลง ดังนั้น \(\frac{dx}{dt} < 0\)
- กำจัดตัวแปรส่วนเกิน ใช้ความสัมพันธ์ทางเรขาคณิต (เช่น รูปสามเหลี่ยมคล้ายในปัญหากรวย) เพื่อแสดงตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่งก่อนการหาอนุพันธ์
- หน่วยต้องสอดคล้องกัน หากรัศมีมีหน่วยเป็นเซนติเมตรและอัตราเป็น cm/sec อัตราของปริมาตรจะเป็น cm³/sec
FAQ
อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:
"เครื่องคำนวณอัตราที่เกี่ยวข้อง" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณอัตราที่เกี่ยวข้อง/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตล่าสุด: 2026-04-07
แคลคูลัส:
- เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ใหม่
- เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี ใหม่
- เครื่องคำนวณคอนโวลูชัน
- เครื่องคำนวณเคิร์ล ใหม่
- เครื่องคำนวณความโค้ง
- เครื่องคิดเลขอนุพันธ์
- เครื่องพล็อตสนามทิศทางและสนามความชัน ใหม่
- เครื่องคิดตอนุพันธ์เชิงทิศทาง
- เครื่องคำนวณไดเวอร์เจนซ์ ใหม่
- เครื่องคิดเลขปริพันธ์คู่
- เครื่องคำนวณวิธีออยเลอร์ ใหม่
- เครื่องคำนวณการแปลงฟูเรียร์อย่างรวดเร็ว (FFT) ใหม่
- เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง ใหม่
- เครื่องคำนวณสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูเรียร์
- เครื่องคำนวณเกรเดียนต์ หลายตัวแปร ใหม่
- เครื่องคำนวณอนุพันธ์โดยปริยาย
- เครื่องคำนวณอินทิกรัลไม่ตรงแบบ ใหม่
- เครื่องคำนวณผลรวมอนุกรมอนันต์ ใหม่
- เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง ใหม่
- เครื่องคิดเลขอินทิเกรต
- เครื่องคำนวณลาปลาซผกผัน
- เครื่องคำนวณกฎของโลปีตาล ใหม่
- เครื่องคำนวณการแปลงลาปลาซ
- เครื่องคำนวณลิมิต
- เครื่องคำนวณอินทิกรัลตามเส้น ใหม่
- เครื่องคำนวณอนุกรมแมคลอริน ใหม่
- เครื่องคำนวณวิธีนิวตัน ใหม่
- เครื่องคำนวณการอินทิเกรตเชิงตัวเลข ใหม่
- เครื่องคำนวณการหาค่าสูงสุดต่ำสุด แคลคูลัส ใหม่
- เครื่องคำนวณอนุพันธ์ย่อย
- เครื่องคำนวณอนุกรมกำลัง ใหม่
- เครื่องคำนวณรัศมีการลู่เข้า
- เครื่องคำนวณอัตราที่เกี่ยวข้อง ใหม่
- เครื่องคำนวณผลรวมรีมันน์ ใหม่
- เครื่องคำนวณวิธีรุงเง-คุตตา (RK4)
- เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับสอง ใหม่
- เครื่องคำนวณทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม ใหม่
- เครื่องคำนวณกฎของซิมป์สัน ใหม่
- เครื่องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียว
- เครื่องคำนวณปริพันธ์ผิว ใหม่
- เครื่องคำนวณพื้นผิวของการหมุน ใหม่
- เครื่องแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ใหม่
- เครื่องคำนวณอนุกรมเทย์เลอร์
- เครื่องคำนวณกฎสี่เหลี่ยมคางหมู ใหม่
- เครื่องคิดเลขปริพัทธ์สามชั้น
- เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน ใหม่
- เครื่องคำนวณรอนสเกียน
- เครื่องคำนวณการแปลง Z ใหม่