How do you find the characteristic polynomial of a 2x2 matrix?

For a 2x2 matrix with entries a, b, c, d, the characteristic polynomial is lambda squared minus (a+d) lambda plus (ad minus bc). This equals lambda squared minus trace times lambda plus determinant.

เครื่องคำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะ

คำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะ det(A − λI) ของเมทริกซ์จัตุรัส รองรับเมทริกซ์ขนาด 2×2 ถึง 6×6 พร้อมการกระจายโคแฟกเตอร์ทีละขั้นตอน การหาค่าคงตัวเฉพาะ การวิเคราะห์สัมประสิทธิ์ และการแสดงภาพพหุนามแบบโต้ตอบ

ใช้งานฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิกผลลัพธ์ทันที

เครื่องคำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะลองใช้เลย — ฟรี ▼

Embed เครื่องคำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะ

เครื่องคำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะ (Characteristic Polynomial Calculator) คำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะ $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ ของเมทริกซ์จัตุรัสขนาดใดก็ได้ตั้งแต่ 2×2 ถึง 6×6 ป้อนค่าของเมทริกซ์ แล้วรับพหุนามทั้งในรูปแบบขยายและแยกตัวประกอบได้ทันที พร้อมค่าไอเกน (eigenvalues) และจำนวนซ้ำ ตารางวิเคราะห์สัมประสิทธิ์ กราฟพหุนามเชิงโต้ตอบ และวิธีทำแบบทีละขั้นตอนอย่างสมบูรณ์พร้อมสูตรที่แสดงผลด้วย MathJax

What Is the Characteristic Polynomial?

พหุนามลักษณะเฉพาะ (characteristic polynomial) ของเมทริกซ์ $n \times n$ ชื่อ $A$ นิยามไว้ดังนี้:

$$p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$$

นี่คือพหุนามดีกรี $n$ ในตัวแปร $\lambda$ และรากของมันคือค่าไอเกน (eigenvalues) ของ $A$ พอดี พหุนามลักษณะเฉพาะเก็บค่าคงที่พื้นฐานของเมทริกซ์ไว้ นั่นคือ เทรซ (trace) เท่ากับค่าลบของสัมประสิทธิ์ของ $\lambda^{n-1}$ และดีเทอร์มิแนนต์ (determinant) เท่ากับพจน์คงที่ (โดยอาจต่างเครื่องหมาย) ตามทฤษฎีบทเคย์ลีย์–แฮมิลตัน (Cayley–Hamilton theorem) เมทริกซ์จัตุรัสทุกตัวสอดคล้องกับสมการลักษณะเฉพาะของตัวเอง: $p(A) = 0$

Key Concepts

🔢

Eigenvalues

Roots of p(λ) = 0. These are the values λ where det(A − λI) = 0.

∑

Trace = Σλᵢ

Sum of diagonal entries equals sum of all eigenvalues.

∏

Det = ∏λᵢ

Determinant equals the product of all eigenvalues.

📜

Cayley–Hamilton

Every matrix satisfies its own characteristic equation: p(A) = 0.

Characteristic Polynomial Formulas by Size

Size	Characteristic Polynomial p(λ)	Key Properties
2×2	$\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A)$	Always degree 2; two roots (real or complex conjugate pair)
3×3	$\lambda^3 - \text{tr}(A)\lambda^2 + (\text{sum of 2×2 minors})\lambda - \det(A)$	At least one real root guaranteed
n×n	$\det(\lambda I - A) = \lambda^n - s_1\lambda^{n-1} + s_2\lambda^{n-2} - \ldots$	$s_k$ = sum of all k×k principal minors

การประยุกต์ใช้พหุนามลักษณะเฉพาะ

Field	Application	How the Characteristic Polynomial Helps
Differential Equations	Solving linear ODE systems	Eigenvalues from p(λ) determine solution modes (growth, decay, oscillation)
Control Theory	System stability analysis	Roots of the characteristic polynomial indicate stable vs unstable modes
Quantum Mechanics	Energy levels of systems	Eigenvalues of Hamiltonian matrix are measurable energy states
Graph Theory	Spectral graph analysis	Characteristic polynomial of adjacency matrix encodes graph structure
Vibration Analysis	Natural frequencies	Eigenvalues give resonant frequencies of mechanical systems
Data Science	PCA / dimensionality reduction	Largest eigenvalues identify principal components in covariance matrices

วิธีใช้เครื่องคำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะ

เลือกขนาดเมทริกซ์: ใช้ปุ่ม +/− เพื่อเลือกเมทริกซ์ขนาดตั้งแต่ 2×2 ถึง 6×6 หรือคลิกตัวอย่างด่วนเพื่อโหลดเมทริกซ์ที่ตั้งไว้ล่วงหน้า
ป้อนค่าของเมทริกซ์: พิมพ์ตัวเลขลงในตารางเมทริกซ์ ใช้ปุ่ม Tab หรือปุ่มลูกศรเพื่อเลื่อนไปมาระหว่างช่อง ช่องแนวทแยงจะถูกไฮไลต์เป็นสีน้ำเงินเพื่อช่วยให้มองเห็นตำแหน่งได้ง่ายขึ้น
คลิกคำนวณ: เครื่องคำนวณจะสร้างเมทริกซ์ (A − λI) คำนวณดีเทอร์มิแนนต์เชิงสัญลักษณ์เพื่อให้ได้พหุนามลักษณะเฉพาะ จากนั้นแยกตัวประกอบเพื่อหาค่าไอเกน
ตรวจสอบผลลัพธ์: ดูพหุนามลักษณะเฉพาะทั้งในรูปแบบขยายและแยกตัวประกอบ ตรวจสอบการ์ดค่าไอเกนเพื่อดูรากและจำนวนซ้ำ กราฟเชิงโต้ตอบจะแสดงตำแหน่งที่ p(λ) ตัดผ่านศูนย์
สำรวจแบบทีละขั้นตอน: ใช้ตัวเลื่อนขั้นตอนหรือปุ่ม Auto เพื่อไล่ดูการอนุมานทั้งหมด — ตั้งแต่การสร้าง A − λI ไปจนถึงการตรวจสอบขั้นสุดท้ายด้วยเทรซและดีเทอร์มิแนนต์

FAQ

What is a characteristic polynomial?

The characteristic polynomial of a square matrix A is p(λ) = det(λI − A), a degree-n polynomial whose roots are the eigenvalues of A. It encodes essential information about the matrix including its eigenvalues, trace, and determinant. The characteristic polynomial is one of the most fundamental objects in linear algebra.

How do you find the characteristic polynomial of a 2×2 matrix?

For a 2×2 matrix [[a, b], [c, d]], the characteristic polynomial is λ² − (a+d)λ + (ad − bc). This simplifies to λ² − tr(A)λ + det(A), where tr(A) = a+d is the trace and det(A) = ad − bc is the determinant. The two roots give you the eigenvalues.

What is the relationship between the characteristic polynomial and eigenvalues?

The eigenvalues of a matrix are exactly the roots of its characteristic polynomial. If λ₀ is a root of p(λ) = det(λI − A) = 0, then λ₀ is an eigenvalue. The algebraic multiplicity of an eigenvalue is its multiplicity as a root of p(λ). For example, if p(λ) = (λ − 3)²(λ − 1), then λ = 3 has algebraic multiplicity 2 and λ = 1 has algebraic multiplicity 1.

Can a characteristic polynomial have complex roots?

Yes. Even for a real matrix, the characteristic polynomial can have complex roots (eigenvalues). Complex eigenvalues of real matrices always come in conjugate pairs: if a + bi is an eigenvalue, then a − bi is also an eigenvalue. For example, the rotation matrix [[0, −1], [1, 0]] has characteristic polynomial λ² + 1, with roots ±i.

What do the coefficients of the characteristic polynomial tell us?

The coefficients encode important matrix invariants. The leading coefficient is always 1 (monic polynomial). The coefficient of λ^(n−1) equals −tr(A) (negative trace). The constant term equals (−1)ⁿ det(A). More generally, the coefficient of λ^(n−k) is (−1)^k times the sum of all k×k principal minors of A. These are called the elementary symmetric polynomials of the eigenvalues.

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะ" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะ/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

by miniwebtool team. Updated: 2026-04-13

มี Developer API ให้ใช้งาน: เรียกใช้เครื่องมือนี้จากแอป ระบบอัตโนมัติ หรือเอเจนต์ของคุณด้วยคำขอ JSON HTTP หนึ่งครั้ง ดูเอกสาร API

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.