เครื่องคำนวณความโค้ง

ใส่ y=f(x) หรือเส้นโค้งพาราเมตริกและจุดหนึ่งจุด เพื่อได้ความโค้ง รัศมีความโค้ง และวงกลมออสคูเลต พร้อมขั้นตอนอนุพันธ์

ใช้ฟรีวันละ 3 ครั้งไม่ต้องสมัครสมาชิกอัปเดต ก.พ. 2026

เครื่องคำนวณความโค้งลองใช้เลย — ฟรี ▼

ตัวอย่างด่วน — คลิกเพื่อทดลอง:

y = x²ที่ x=1 y = sin(x)ที่ x=π/2 y = eˣที่ x=0 วงกลมcos(t), sin(t) วงรี2cos(t), sin(t) y = x³−3xที่ x=0

ประเภทเส้นโค้ง

ฟังก์ชัน f(x)

ใช้ ** สำหรับยกกำลัง, sin, cos, exp, sqrt, log, pi

ประเมินค่าที่ x =

ตัวเลขหรือนิพจน์ เช่น pi/4, sqrt(2)

คำแนะนำ: ใช้ ^ หรือ ** สำหรับยกกำลัง สามารถละเครื่องหมายคูณได้: 2x = 2*x ค่าคงที่: pi, e

Embed เครื่องคำนวณความโค้ง Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณความโค้ง

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณความโค้ง เครื่องมือแคลคูลัสประสิทธิภาพสูงที่ช่วยคำนวณความโค้ง (κ) ของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ ไม่ว่าคุณจะมีฟังก์ชันในรูปแบบชัดแจ้ง y = f(x) หรือเส้นโค้งพารามิเตอร์ที่กำหนดโดย x(t) และ y(t) เครื่องคำนวณนี้จะให้ผลลัพธ์เชิงสัญลักษณ์ที่แม่นยำ การคำนวณอนุพันธ์ทีละขั้นตอน รัศมีความโค้ง และการแสดงภาพที่แสดงวงกลมประชิด — ซึ่งเป็นวงกลมที่ประมาณค่าเส้นโค้งได้ดีที่สุด ณ จุดที่คุณเลือก

ความโค้งคืออะไร?

ความโค้ง (κ) วัดความชันของการหักเหของเส้นโค้ง ณ จุดใดจุดหนึ่ง โดยสัญชาตญาณ มันจะระบุอัตราการเปลี่ยนแปลงทิศทางของเส้นสัมผัสเมื่อคุณเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้ง เส้นตรงมีความโค้งเป็นศูนย์ในทุกที่ ในขณะที่การเลี้ยวที่แคบจะมีความโค้งสูง

➖

เส้นตรง

κ = 0 ทุกจุด ไม่มีการหักเหเลย

⭕

วงกลม (รัศมี r)

κ = 1/r คงที่ วงกลมเล็กลง → ความโค้งสูงขึ้น

〰️

เส้นโค้งทั่วไป

κ เปลี่ยนแปลงตามเส้นโค้ง ยิ่งหักมุมมาก = κ ยิ่งสูง

สูตรความโค้ง

สำหรับฟังก์ชันชัดแจ้ง y = f(x)

ความโค้งของ y = f(x)

$$\kappa = \frac{|f''(x)|}{\left(1 + (f'(x))^2\right)^{3/2}}$$

โดยที่:

f'(x) = อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง (ความชันของเส้นสัมผัส)
f''(x) = อนุพันธ์อันดับที่สอง (อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน)

สำหรับเส้นโค้งพารามิเตอร์ x(t), y(t)

ความโค้งของเส้นโค้งพารามิเตอร์

$$\kappa = \frac{|x'\,y'' - y'\,x''|}{\left((x')^2 + (y')^2\right)^{3/2}}$$

โดยที่เครื่องหมายไพรม์ (') หมายถึงอนุพันธ์เทียบกับพารามิเตอร์ t

รัศมีความโค้ง

$$R = \frac{1}{\kappa}$$

รัศมีความโค้ง R คือส่วนกลับของความโค้ง มันเท่ากับรัศมีของ วงกลมประชิด (osculating circle) — วงกลมที่มีเพียงวงเดียวที่ประมาณค่าเส้นโค้งได้ดีที่สุด ณ จุดที่กำหนด

วิธีใช้เครื่องคำนวณนี้

เลือกประเภทเส้นโค้ง: เลือก "y = f(x)" สำหรับฟังก์ชันชัดแจ้ง หรือ "x(t), y(t)" สำหรับเส้นโค้งพารามิเตอร์
ป้อนฟังก์ชัน: พิมพ์นิพจน์ของคุณโดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน ใช้ ** สำหรับเลขชี้กำลัง, sin, cos, exp, log, sqrt, pi ฯลฯ
ระบุจุด: ป้อนค่า x (หรือค่า t สำหรับพารามิเตอร์) ที่คุณต้องการคำนวณความโค้ง
คลิกคำนวณ: ดูค่าความโค้ง κ, รัศมีความโค้ง R, การคำนวณทีละขั้นตอน และการแสดงภาพวงกลมประชิด

การทำความเข้าใจผลลัพธ์

ความโค้ง (κ): ผลลัพธ์หลัก — ความชันของการหักเหของเส้นโค้ง ณ จุดนั้น จะไม่เป็นลบเสมอ
รัศมีความโค้ง (R): รัศมีของวงกลมประชิด R = 1/κ ยิ่ง R มากขึ้น การโค้งงอก็จะยิ่งนุ่มนวลขึ้น
วงกลมประชิด: วงกลมเส้นประสีเขียวในกราฟที่ประมาณค่าเส้นโค้งเฉพาะจุดได้ดีที่สุด จุดศูนย์กลางจะอยู่ทางด้านเว้าของเส้นโค้ง
การคำนวณทีละขั้นตอน: การคำนวณอนุพันธ์ที่สมบูรณ์ซึ่งแสดงที่มาของค่า κ

ค่าความโค้งที่พบบ่อย

เส้นโค้ง	ความโค้ง κ	รัศมี R
เส้นตรง y = mx + b	0	∞
วงกลมรัศมี r	1/r	r
y = x² ที่ x = 0	2	0.5
y = sin(x) ที่ x = 0	0	∞
y = sin(x) ที่ x = π/2	1	1
y = eˣ ที่ x = 0	1/(2√2) ≈ 0.354	2√2 ≈ 2.828

วงกลมประชิด (The Osculating Circle)

วงกลมประชิด (มาจากภาษาละติน osculare แปลว่า "จูบ") ณ จุด P บนเส้นโค้ง คือวงกลมที่:

ผ่านจุด P
มีทิศทางเส้นสัมผัสเดียวกับเส้นโค้งที่จุด P
มีความโค้งเดียวกับเส้นโค้งที่จุด P

มันคือการประมาณค่าแบบวงกลมที่ดีที่สุดสำหรับเส้นโค้งใกล้จุดนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมประชิดเรียกว่า จุดศูนย์กลางความโค้ง และจะอยู่ทางด้านเว้าของเส้นโค้งเสมอ ตามแนวเวกเตอร์แนวฉากหน่วย

การประยุกต์ใช้ความโค้ง

การออกแบบถนนและทางรถไฟ

วิศวกรใช้ความโค้งในการออกแบบถนนและรางรถไฟ ความโค้งสูงสุดจะเป็นตัวกำหนดรัศมีการเลี้ยวขั้นต่ำ ซึ่งส่งผลต่อความเร็วในการขับขี่ที่ปลอดภัย เส้นโค้งเปลี่ยนผ่าน (clothoids) ช่วยให้การเปลี่ยนผ่านระหว่างช่วงทางตรงและช่วงทางโค้งเป็นไปอย่างราบรื่นโดยการเปลี่ยนความโค้งแบบเชิงเส้น

คอมพิวเตอร์กราฟิกและ CAD

ในการออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย (CAD) ความต่อเนื่องของความโค้ง (ความต่อเนื่อง G2) ช่วยให้มั่นใจว่าพื้นผิวดูเรียบเนียน Curvature combs ช่วยแสดงให้เห็นว่าความโค้งเปลี่ยนแปลงอย่างไรตามแนวเส้นโค้ง ช่วยให้นักออกแบบสร้างรูปทรงที่สวยงามสำหรับรถยนต์ เครื่องบิน และผลิตภัณฑ์อุปโภคบริโภค

ทัศนศาสตร์และการออกแบบเลนส์

ความโค้งของพื้นผิวเลนส์เป็นตัวกำหนดความยาวโฟกัสและคุณสมบัติทางแสง สมการของช่างทำเลนส์ (lensmaker's equation) จะเชื่อมโยงความโค้งของพื้นผิวกับกำลังของเลนส์โดยตรง

ฟิสิกส์: การเคลื่อนที่ของอนุภาค

ในทางฟิสิกส์ ความโค้งเกี่ยวข้องกับความเร่งสู่ศูนย์กลาง อนุภาคที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้งด้วยความเร็ว v จะได้รับความเร่งสู่ศูนย์กลาง a = κv² ซึ่งมีทิศทางตั้งฉากกับทิศทางความเร็ว

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

ความโค้งเป็นแนวคิดพื้นฐานในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ สำหรับพื้นผิว ความโค้งแบบเกาส์เซียน (ผลคูณของความโค้งหลัก) จะระบุว่าพื้นผิวมีลักษณะเป็นทรงกลม ทรงอานม้า หรือแบนราบในบริเวณนั้น สิ่งนี้ขยายไปถึงทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ซึ่งความโค้งของกาลอวกาศอธิบายถึงแรงโน้มีถ่วง

คู่มือสัญลักษณ์การป้อนข้อมูล

การดำเนินการ	สัญลักษณ์	ตัวอย่าง
ยกกำลัง	`**` หรือ `^`	`x**3` หรือ `x^3`
รากที่สอง	`sqrt()`	`sqrt(x)`
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ	`sin, cos, tan`	`sin(x), cos(2*t)`
ตรีโกณมิติผกผัน	`asin, acos, atan`	`atan(x)`
เลขชี้กำลัง	`exp()`	`exp(-x**2)`
ลอการิทึมธรรมชาติ	`log()` หรือ `ln()`	`log(x)`
ค่าคงที่	`pi`, `e`	`pi/4`, `e**x`
การคูณ	`*` (หรือแบบละไว้)	`2*x` หรือ `2x`

คำถามที่พบบ่อย

ความโค้งในแคลคูลัสคืออะไร?

ความโค้ง (κ) คือการวัดความชันของการหักเหของเส้นโค้ง ณ จุดที่กำหนด เส้นตรงมีความโค้งเป็นศูนย์ ในขณะที่วงกลมที่มีรัศมี r มีความโค้งคงที่ κ = 1/r สำหรับฟังก์ชัน y=f(x) สูตรคือ κ = |f''(x)| / (1 + (f'(x))²)^(3/2)

จะคำนวณความโค้งของเส้นโค้งพารามิเตอร์ได้อย่างไร?

สำหรับเส้นโค้งพารามิเตอร์ที่กำหนดโดย x(t) และ y(t) สูตรความโค้งคือ κ = |x'y'' - y'x''| / ((x')² + (y')²)^(3/2) ซึ่งต้องใช้การคำนวณอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งและสองของทั้ง x(t) และ y(t) เทียบกับพารามิเตอร์ t

วงกลมประชิดคืออะไร?

วงกลมประชิดที่จุดหนึ่งบนเส้นโค้งคือวงกลมที่ประมาณค่าเส้นโค้งได้ดีที่สุดที่จุดนั้น รัศมีของมันจะเท่ากับรัศมีความโค้ง R = 1/κ และจุดศูนย์กลางของมันจะอยู่บนเส้นแนวฉากกับเส้นโค้งที่จุดนั้น ทางด้านเว้า

รัศมีความโค้งคืออะไร?

รัศมีความโค้ง R คือส่วนกลับของความโค้ง: R = 1/κ มันแสดงถึงรัศมีของวงกลมประชิด รัศมีขนาดใหญ่หมายถึงเส้นโค้งเบี่ยงเบนเล็กน้อย (เกือบเป็นเส้นตรง) ในขณะที่รัศมีขนาดเล็กหมายถึงเส้นโค้งที่หักมุมอย่างรวดเร็ว

ความโค้งเป็นศูนย์หมายถึงอะไร?

ความโค้งเป็นศูนย์ ณ จุดหนึ่งหมายความว่าเส้นโค้งนั้นเป็นเส้นตรงในบริเวณนั้น — ไม่มีการหักเห อนุพันธ์อันดับสอง f''(x) จะเท่ากับศูนย์ที่จุดนั้น (สำหรับเส้นโค้งในรูปแบบชัดแจ้ง) รัศมีความโค้งจะเป็นอินฟินิตี้ หมายความว่าวงกลมประชิดกลายเป็นเส้นตรง

ความโค้งสามารถติดลบได้หรือไม่?

ในสูตรความโค้งสเกลาร์มาตรฐาน ความโค้ง κ จะไม่เป็นลบเสมอเนื่องจากมีค่าสัมบูรณ์ในตัวเศษ อย่างไรก็ตาม ความโค้งแบบมีเครื่องหมาย (ไม่มีค่าสัมบูรณ์) สามารถเป็นบวกหรือลบได้ เพื่อระบุว่าเส้นโค้งเบนไปทางซ้ายหรือขวา เครื่องคำนวณนี้จะคำนวณความโค้งแบบไม่มีเครื่องหมาย (ไม่เป็นลบ)

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณความโค้ง" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณความโค้ง/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 18 ก.พ. 2026

มี Developer API ให้ใช้งาน: เรียกใช้เครื่องมือนี้จากแอป ระบบอัตโนมัติ หรือเอเจนต์ของคุณด้วยคำขอ JSON HTTP หนึ่งครั้ง ดูเอกสาร API