Kalkulator Prawa Sinusów

O Kalkulator Prawa Sinusów

Witamy w naszym Kalkulatorze Prawa Sinusów – rozbudowanym narzędziu online do rozwiązywania trójkątów z wykorzystaniem prawa sinusów. Niezależnie od tego, czy masz do czynienia z przypadkiem ASA, AAS czy z niejednoznacznym przypadkiem SSA, kalkulator obliczy brakujące boki i kąty oraz pokaże dokładne rozwiązanie krok po kroku.

Czym jest prawo sinusów?

Prawo sinusów jest podstawowym twierdzeniem trygonometrii, które wiąże długości boków trójkąta z sinusami odpowiednich kątów. Zapisujemy je jako:

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$

gdzie $a$, $b$ i $c$ to długości boków przeciwległych odpowiednio kątom $A$, $B$ i $C$.

Najważniejsze funkcje Kalkulatora Prawa Sinusów

• Obsługa wielu przypadków: Rozwiązywanie trójkątów dla przypadków ASA, AAS i SSA.
• Wykrywanie niejednoznaczności SSA: Automatyczne określenie, czy dla danych SSA istnieje 0, 1 czy 2 rozwiązania.
• Różne jednostki kątów: Możliwość pracy w stopniach i radianach.
• Rozwiązania krok po kroku: Szczegółowy opis każdego etapu obliczeń.
• Wizualizacja trójkąta: Rysunek trójkąta na podstawie obliczonych boków i kątów.
• Kontrola poprawności danych: Jasne komunikaty o błędach dla sprzecznych lub niepoprawnych danych wejściowych.

Rodzaje przypadków trójkąta

ASA (Kąt–Bok–Kąt)

Jeśli znasz dwa kąty oraz bok pomiędzy nimi, trójkąt jest jednoznacznie określony. Najpierw obliczamy trzeci kąt, a następnie z prawa sinusów wyznaczamy pozostałe boki.

• Dane: Kąty $A$ i $C$ oraz bok $b$ między nimi.
• Szukane: Kąt $B$ oraz boki $a$ i $c$.
• Rozwiązanie: Jedno (dokładnie jeden trójkąt).

AAS (Kąt–Kąt–Bok)

Jeśli znasz dwa kąty i dowolny bok (niekoniecznie między tymi kątami), możesz wyznaczyć wszystkie pozostałe elementy trójkąta.

• Dane: Kąty $A$ i $B$ oraz bok $a$.
• Szukane: Kąt $C$ oraz boki $b$ i $c$.
• Rozwiązanie: Jedno.

SSA (Bok–Bok–Kąt) – przypadek niejednoznaczny

Gdy znane są dwa boki oraz kąt naprzeciw jednego z nich (SSA), może się zdarzyć, że:

• Brak rozwiązania: Żaden trójkąt nie spełnia podanych warunków.
• Jedno rozwiązanie: Istnieje dokładnie jeden trójkąt.
• Dwa rozwiązania: Istnieją dwa różne trójkąty spełniające te same warunki (przypadek niejednoznaczny).

Dane: Boki $a$ i $b$ oraz kąt $A$.

Nasz kalkulator automatycznie określa, do którego z powyższych przypadków należą dane wejściowe, i pokazuje wszystkie poprawne rozwiązania.

Jak korzystać z kalkulatora prawa sinusów

1. Wybierz rodzaj przypadku: ASA, AAS lub SSA z listy rozwijanej.
2. Wybierz jednostkę kąta: Stopnie lub radiany.
3. Wprowadź dane:
   • ASA: Wejście 1 = kąt A, Wejście 2 = bok b, Wejście 3 = kąt C
   • AAS: Wejście 1 = kąt A, Wejście 2 = kąt B, Wejście 3 = bok a
   • SSA: Wejście 1 = bok a, Wejście 2 = bok b, Wejście 3 = kąt A
4. Kliknij przycisk „Oblicz”, aby uzyskać wynik.
5. Przeanalizuj rozwiązanie krok po kroku oraz wizualizację trójkąta.

Zastosowania prawa sinusów

Prawo sinusów ma liczne zastosowania, między innymi w:

• Nawigacji: Wyznaczanie pozycji i odległości metodą triangulacji.
• Astronomii: Obliczanie odległości do ciał niebieskich.
• Geodezji i pomiarach terenowych: Wyznaczanie trudno dostępnych odcinków i pól.
• Inżynierii: Analiza konstrukcji oraz obliczenia projektowe.
• Fizyce: Analiza wektorowa i rozkład sił.
• Grafice komputerowej: Modelowanie 3D i obliczenia renderingu.

Tło matematyczne

Prawo sinusów można wyprowadzić z wzoru na pole trójkąta. Dla trójkąta o polu $K$ zachodzi:

$$K = \frac{1}{2}ab\sin(C) = \frac{1}{2}bc\sin(A) = \frac{1}{2}ac\sin(B)$$

Porównując te wyrażenia i odpowiednio je przekształcając, otrzymujemy prawo sinusów.

Ważne własności

• Suma kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta wynosi zawsze $180°$ (lub $\\pi$ radianów).
• Najdłuższy bok leży naprzeciw największego kąta, a najkrótszy bok – naprzeciw najmniejszego kąta.

Inne powiązane narzędzia:

Kalkulatory trygonometryczne:

• Konwerter DMS na Stopnie Dziesiętne Nowy
• Kalkulator Prawa Cosinusów Nowy
• Kalkulator Prawa Sinusów Nowy
• Kalkulator Trójkąta Prostokątnego Nowy
• Kalkulator Sinusa o Wysokiej Precyzji Nowy
• Kalkulator funkcji hiperbolicznych o wysokiej precyzji Nowy
• Rysowanie Wykresów Funkcji Trygonometrycznych Nowy
• Kalkulator Arcus Sinus (Odwrotny Sinus) Nowy
• Kalkulator Arcus Cosinus (Odwrotny Cosinus) Nowy
• Kalkulator cosinusa o wysokiej precyzji Nowy
• Kalkulator Tangensa o Wysokiej Precyzji Nowy
• Kalkulator Kosekansa/Sekansa/Kotangensa Nowy
• Kalkulator Arcus Tangens (arctan) Nowy
• Kalkulator Arctan2 Nowy
• Konwerter Stopni Dziesiętnych na Stopnie Minuty Sekundy Nowy
• Interaktywny wizualizator okręgu jednostkowego Nowy
• Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych Nowy