지구 관통 낙하 계산기

🌍 지구의 내부 구조

지구는 균일한 공 모양이 아닙니다. 밀도가 매우 다른 뚜렷한 층들로 이루어져 있으며, 이는 중력 기차 계산에 큰 영향을 미칩니다.

📐 중력 기차의 물리학

중력 기차는 물리학의 고전적인 사고 실험입니다. 마찰이 없고 진공 상태인 터널을 지구를 가로질러 뚫고 물체를 그 안에 떨어뜨린다고 상상해 보세요. 어떤 일이 벌어질까요?

균일 밀도 모델: 균일한 구 내부에서는 당신보다 중심에 더 가까운 질량만이 중력에 기여합니다(구각 정리). 이는 선형 중력 프로필을 제공합니다.

여기서 \(g_0 = 9.81\) m/s²는 표면 중력, \(r\)은 중심으로부터의 거리, \(R = 6{,}371\) km는 지구의 반지름입니다.

이는 다음과 같은 각진동수를 갖는 단순 조화 운동을 생성합니다.

편도 이동 시간은 진동 주기의 절반입니다.

PREM 가변 밀도 모델: 실제 지구는 가벼운 암석 맨틀(3–5 g/cm³)로 둘러싸인 밀도가 높은 철-니켈 핵(13 g/cm³)을 가지고 있습니다. 이는 맨틀을 통해 내려갈수록 중력이 실제로 증가하고(2,891km 깊이의 핵심-맨틀 경계에서 ~10.68 m/s²로 정점), 그 후 핵을 통해 감소함을 의미합니다. 결과적으로 초기 가속도가 더 강해져 이동 시간이 약 38분으로 짧아집니다.

💨 중심에서의 최대 속도

지구 중심에서 모든 중력 가속도는 운동 에너지로 전환됩니다. 최대 속도는 다음과 같습니다.

이것은 대략 마하 23 — 음속의 23배입니다! 또한 지구 표면에서의 궤도 속도와 정확히 일치하는데, 이는 우연이 아닙니다. 중력 기차는 수학적으로 퇴화된(평평해진) 궤도와 동일하기 때문입니다.

📐 현 터널: 놀라운 지름길

현 터널은 중심을 지나지 않고 지구 표면의 두 지점을 연결합니다. 중심에서 각 \(\theta\)를 이루는 현의 경우:

• 터널 길이: \(L = 2R\sin(\theta/2)\)
• 최대 깊이: \(d = R(1 - \cos(\theta/2))\)
• 최대 속도: \(v_{max} = \omega R\sin(\theta/2)\) (직경 터널보다 낮음)
• 이동 시간: 여전히 \(\pi\sqrt{R/g_0} \approx 42\) 분!

모든 현에 대해 이동 시간이 동일한 것은 단순 조화 운동의 등시성(isochronous property)의 직접적인 결과입니다. 이는 진자의 주기가 진폭에 관계없이 일정하게 만드는 것(작은 흔들림의 경우)과 같은 원리입니다.

🛠 왜 실제로 이것을 건설할 수 없나요?

중력 기차는 아름다운 이론적 구조물이지만, 현재 기술로는 불가능하게 만드는 몇 가지 실제적인 장애물이 있습니다.

• 온도: 지구의 핵은 5,500°C(태양 표면만큼 뜨거움)에 도달합니다. 어떤 알려진 물질도 이 온도를 견딜 수 없습니다.
• 압력: 중심에서의 압력은 360 GPa(360만 기압)를 초과합니다. 터널 벽은 엄청난 압쇄력을 견뎌야 합니다.
• 공기 저항: 진공 상태를 만든다 하더라도 12,742km에 걸쳐 완벽한 진공을 유지하는 것은 비현실적입니다. 아주 약간의 공기라도 항력과 열을 발생시킵니다.
• 코리올리 효과: 지구의 자전은 떨어지는 물체를 터널 벽 쪽으로 밀어내므로 자기 부상이나 곡선 터널이 필요합니다.
• 조석 효과: 달과 태양은 궤적에 미세한 변화를 일으킬 것입니다.

그럼에도 불구하고, 이 개념은 더 짧고 얕은 터널을 사용하여 인근 도시 사이를 연결하는 "중력 기차"에 대한 실제 제안들에 영감을 주었습니다. 본질적으로 롤러코스터의 하이테크 버전입니다!

📜 역사적 배경

중력 기차 개념은 물리학과 SF 분야에서 풍부한 역사를 가지고 있습니다.

• 1638년: 갈릴레오 갈릴레이가 지구를 통과하는 낙하 문제를 처음 고려했습니다.
• 1687년: 아이작 뉴턴의 프린키피아에서 이를 해결하는 데 필요한 구각 정리를 제공했습니다.
• 1966년: 폴 쿠퍼(Paul Cooper)가 American Journal of Physics에 "The Gravity Train"을 발표하여 현 터널 결과를 대중화했습니다.
• 2015년: 알렉산더 클로츠(Alexander Klotz)가 PREM 모델을 사용하여 정교한 계산을 발표하여 약 38분의 이동 시간을 찾아냈습니다.