RREF計算機行簡約階段形

任意の行列を行簡約階段形（RREF）に簡約し、詳細なステップバイステップの行操作を表示します。行列を入力すると、すべてのピボット、入れ替え、消去ステップが可視化されます。階数（ランク）、退化次数（ナリティ）、ピボット列、自由変数、および解の種類を即座に特定します。

RREF計算機行簡約階段形

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RREF計算機行簡約階段形

RREF計算機行簡約階段形は、任意の行列に対してガウス・ジョルダン消去法を実行し、その過程のすべての行操作を表示する電卓です。線形方程式系を解く、行列のランクを求める、ピボット列や自由変数を特定するなど、このツールは正確な分数計算（丸め誤差なし）を使用して、完全なステップバイステップの解決策を提供します。

行簡約階段形（RREF）とは？

行列が以下のすべての条件を満たすとき、その行列は行簡約階段形にあります：

1️⃣

主成分の 1

各非ゼロ行の最初の非ゼロ成分は 1（ピボットと呼ばれる）です。

⬇️

階段パターン

各ピボットは、その上の行のピボットよりも右側に位置します。

0️⃣

上下がゼロ

ピボット列内の他のすべての成分はゼロです。

⬆️

ゼロ行は下部へ

すべての成分がゼロである行は、行列の最下部にまとめられます。

RREF計算機行簡約階段形の使い方

ステップ 1. +/− コントロールを使用して、行数と列数を設定します。

ステップ 2. グリッドセルに行列の値を入力します。整数、小数、または 1/3 のような分数も入力できます。Tab、Enter、または矢印キーを使用してセル間を移動できます。

ステップ 3. 方程式系を解く場合は、増大行列 [A|b] にチェックを入れて、最後の列を定数ベクトルとしてマークします。

ステップ 4. RREFを計算をクリックします。

ステップ 5. 結果を確認します：RREF行列、ランク、退化次数、ピボット列、自由変数が表示されます。ステップナビゲーターまたは再生ボタンを使用して、各行操作の展開を確認してください。

行階段形 (REF) vs. 行簡約階段形 (RREF)

特性	REF (行階段形)	RREF (行簡約階段形)
ピボットの下がゼロ	はい	はい
ピボットの上がゼロ	不要	はい
ピボットが 1 に等しい	不要	はい
一意性	一意ではない	すべての行列に対して一意
手法	前向き消去	前向き＋後ろ向き消去

結果の理解

ランクはピボット位置の数であり、列空間（または行空間）の次元を表します。退化次数は非ピボット列の数であり、核（null space）の次元を表します。次元定理（ランク・退化次数定理）により、ランク + 退化次数 = 列の数が保証されます。

増大行列 \([A|b]\) の場合、解の種類は RREF に依存します：

条件	解の種類
行 \([0\; 0\; \cdots\; 0\; \|\; c]\) （\(c \neq 0\)）が存在する	解なし（不能）
A のすべての列がピボット列である	一意の解
A に非ピボット列があり、不能な行がない	無限に多くの解

基本行操作

RREF を計算するために使用される3つの操作は、線形系の解集合を保持します：

⇆

行の入れ替え

\(R_i \leftrightarrow R_j\) — 2つの行を交換します。

行の定数倍

\(R_i \leftarrow kR_i\) — 行に 0 以外のスカラーを掛けます。

行の加法

\(R_i \leftarrow R_i + kR_j\) — ある行の倍数を別の行に加えます。

よくある質問

行簡約階段形（RREF）とは何ですか？

RREF は、ガウス・ジョルダン消去法を通じて得られる行列の標準形です。RREF では、各主成分（ピボット）は 1 であり、各ピボットはその列で唯一の 0 以外の成分であり、ピボット位置は厳密に右下に移動します。すべての行列は一意の RREF を持ちます。

REF と RREF の違いは何ですか？

行階段形（REF）は各ピボットの下に 0 があることのみを要求しますが、行簡約階段形（RREF）はさらに各ピボットの上に 0 があること、およびすべてのピボットが 1 であることを要求します。RREF は任意の行列に対して一意ですが、REF はそうではありません。

RREF を使用して行列のランクを求めるにはどうすればよいですか？

行列のランクは、その RREF におけるピボット（主成分の 1）の数に等しくなります。ピボット列は、これらの主成分の 1 を含む列です。退化次数は、列の数からランクを引いたものであり、自由変数の数でもあります。

RREF を使用して方程式系を解くにはどうすればよいですか？

系 Ax = b に対して増大行列 [A|b] を書き、それを RREF に簡約します。もしある行が [0 0 ... 0 | c] （c は 0 以外）の形式であれば、その系は不能（解なし）です。そうでなければ、ピボット列が確定した変数を与え、非ピボット列は任意の値を取ることができる自由変数に対応します。

RREF を求めるためにどのような行操作が使用されますか？

3つの基本行操作が使用されます：(1) 2つの行を入れ替える、(2) 行に 0 以外のスカラーを掛ける、(3) ある行の倍数を別の行に加える。これらの操作は、線形系の行空間や解集合を変更しません。

このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合は、次のようにしてください：

"RREF計算機行簡約階段形"（https://MiniWebtool.com/ja/rref計算機行簡約階段形/） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/

miniwebtool チームによる提供。更新日: 2026-04-09

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