内積電卓

内積電卓

内積計算機は、代数公式 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\) を使用して、2D、3D、またはそれ以上の次元における2つのベクトルのスカラー積を計算します。2つのベクトルの成分を入力すると、内積、ベクトル間の角度、大きさ、スカラー射影とベクトル射影、幾何学的解釈、およびインタラクティブなベクトル図付きのステップバイステップの解決策を即座に取得できます。

実社会での応用

主要な公式

内積 vs. 外積

幾何学的解釈の理解

内積には深い幾何学的意味があります：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)。これにより、以下のことが分かります：

• 正の内積 (θ < 90°): ベクトルはおおむね同じ方向を向いています。
• ゼロの内積 (θ = 90°): ベクトルは垂直（直交）です。これは線形代数における直交性テストの基礎です。
• 負の内積 (θ > 90°): ベクトルはおおむね反対の方向を向いています。

\(\vec{b}\) 上への \(\vec{a}\) のスカラー射影は、光が \(\vec{b}\) に垂直に当たったときの \(\vec{a}\) の「影」の符号付きの長さを与えます。ベクトル射影は、この影を \(\vec{b}\) に沿った実際のベクトルとして与えます。

内積計算機の使い方

1. 次元を選択する： 2D、3D、4D、または高次元の場合はカスタムを選択します。クイック例をクリックしてサンプル値を自動入力することもできます。
2. ベクトル a を入力する： 成分をコンマで区切って入力します（例：3Dベクトルの場合は 3, 4, 5）。
3. ベクトル b を入力する： 同じ次元の2番目のベクトルの成分を入力します。
4. ライブプレビューを確認する： 入力に合わせてベクトル図がリアルタイムで更新され、ベクトル間の空間的な関係と角度が表示されます。
5. 計算をクリックする： ボタンを押すと、内積、角度、大きさ、射影、解釈、ステップバイステップの数式を含む完全な結果が表示されます。

内積の性質

• 交換法則： \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
• 分配法則： \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
• スカラー倍： \((k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
• 自己の内積： \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\) (大きさの2乗)
• コーシー＝シュワルツの不等式： \(|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}||\vec{b}|\)

FAQ

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