仕事算ソルバー

この仕事算ソルバーは、最も一般的な5つの「AとBの共同作業」に関する文章題を1か所でカバーしています。古典的な共同作業時間の問題、1人の作業者とチームの時間は分かっているがもう1人の作業者が不明な問題、給水管と排水管の正味時間の問題、2人の作業者が交代で働く交代制シフトの問題、および1人の作業者が単独で開始し、もう1人が途中で加わる一部完了の問題です。お好みの単位（時間、分、日、秒）で単独時間を入力すると、ソルバーがレート加算の法則を適用し、LaTeXを使用して代数計算をステップバイステップで解説します。また、各作業者のレートに比例して成長するスライスを備えたアニメーション付きデュアルパイ視覚化も表示されます。

このソルバーの使い方

1. ドロップダウンから問題に一致するシナリオを選択します — 共同作業、不足している作業者、給排水、交代制シフト、またはA単独の後にBが参加。
2. 時間単位（時間、分、日、秒）を選択します。すべての入力で同じ単位を使用します。
3. 各作業者の単独時間を入力します。不足している作業者の場合は、共同作業時間も入力します。配管の場合は、給水時間と排水時間を入力します。交代制シフトの場合は、シフトの長さとどちらが先に始めるかを入力します。一部完了の場合は、Bが加わる前にAが単独で働く時間を入力します。
4. 「計算する」をクリックします。ヘッドラインの値は、不足している量（共同時間、Bの単独時間、正味給水時間、合計経過時間、またはプロジェクトの合計時間）です。
5. 各作業者のレートに比例して満たされるデュアルパイチャートを確認し、LaTeX形式のステップバイステップの解説を読みます。

5つの公式の概要

レート加算の法則（鍵となる考え方）

すべての仕事算は1つの同一性に集約されます：作業者が協力するときレートは加算されますが、時間は加算されません。Aが仕事全体を \( T_A \) で終えるなら、Aは単位時間あたり仕事の \( 1/T_A \) をこなします。2人の作業者は、それぞれの単位時間あたりの割合を独立して提供します。

\[ \frac{1}{T} \;=\; \frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B} \]

この電卓の各シナリオは、この同じ方程式における異なる未知数にすぎません：

• 共同作業 — \( T_A \) と \( T_B \) が与えられたときの \( T \) を求める。
• 不足 — \( T_A \) と共同時間 \( T \) が与えられたときの \( T_B \) を求める。
• 配管 — 1つの項の符号を反転させる： \( 1/T = 1/T_f - 1/T_d \)。
• 交代 — 時間を A+B サイクルに分け、各サイクルで仕事の \( L(r_A+r_B) \) を完了させる。
• 一部完了 — タイムラインを A単独 と 共同 の2つに分ける。

解答例：2人の塗装工

塗装工Aは壁を6時間で塗り終えることができます。塗装工Bは同じ壁を4時間で塗ることができます。2人が一緒に作業するとどのくらい時間がかかりますか？

1. Aのレート： \( r_A = 1/6 \) 壁/時間。
2. Bのレート： \( r_B = 1/4 \) 壁/時間。
3. 合計レート： \( r_A + r_B = 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 \) 壁/時間。
4. 共同作業時間： \( T = 1 / (5/12) = 12/5 = 2.4 \) 時間 = 2時間24分。
5. 注目：答え（2.4時間）は4時間と6時間の両方よりも短くなっています。2人目の作業者が加わると、仕事は必ず早くなります。

解答例：不足している助っ人

Aが単独で行うと5時間かかることが分かっています。正体不明の助っ人Bと一緒に作業すると、チームは2時間で完了します。Bが単独で行うとどのくらい時間がかかりますか？

1. 合計レート： \( r_T = 1/2 = 0.5 \) 仕事/時間。
2. Aのレート： \( r_A = 1/5 = 0.2 \) 仕事/時間。
3. 引き算： \( r_B = 0.5 - 0.2 = 0.3 \) 仕事/時間。
4. Bの単独時間： \( T_B = 1/0.3 \approx 3.33 \) 時間。

解答例：給水管 vs 排水管

給水管は5時間でタンクを満たします。排水管は同じタンクを8時間で空にします。両方が開いているとき、タンクが満たされるまでどのくらいかかりますか？

1. 給水レート： \( r_f = 1/5 = 0.20 \) タンク/時間。
2. 排水レート： \( r_d = 1/8 = 0.125 \) タンク/時間。
3. 正味のレート： \( r_{net} = 0.20 - 0.125 = 0.075 \) タンク/時間。
4. 満タンになるまでの時間： \( T = 1/0.075 \approx 13.33 \) 時間 = 13時間20分。
5. 妥当性の確認：給水のみなら5時間ですが、排水が逆行しているため、時間は2倍以上かかります。もし排水が給水より速ければ、タンクは決して満たされません。

解答例：1時間ごとの交代制シフト

Aは仕事を単独で6時間で終えます。Bは単独で8時間かかります。彼らはAから始めて、1時間ずつのシフトで交代で作業します。仕事にはどのくらい時間がかかりますか？

1. 1ペアあたりの作業量： \( L(r_A + r_B) = 1 \cdot (1/6 + 1/8) = 7/24 \approx 0.2917 \) 1ペアあたりの仕事。
2. 3つのフルペア（6時間）で、仕事の \( 3 \cdot 7/24 = 21/24 = 0.875 \) を完了。
3. 残り： 0.125。Aの次の1時間のシフトでこなせる量は \( 1/6 \approx 0.1667 \) であり、これは 0.125 よりも多いため、Aは4回目のシフト中に完了します。
4. Aが最後の 0.125 を行うのに必要な時間： \( 0.125 / (1/6) = 0.75 \) 時間。
5. 合計時間： \( 6 + 0.75 = 6.75 \) 時間 = 6時間45分。

解答例：一部完了

Aが単独で仕事を開始します（Aの単独時間は6時間）。2時間後にBが加わります（Bの単独時間は4時間）。完了までどのくらいかかりますか？

1. Aが単独で終えた作業量： \( (1/6) \cdot 2 = 1/3 \) 仕事。
2. 残りの作業量： \( 1 - 1/3 = 2/3 \)。
3. 合計レート： \( 1/6 + 1/4 = 5/12 \) 1時間あたり。
4. 共同フェーズの時間： \( (2/3) / (5/12) = (2/3) \cdot (12/5) = 8/5 = 1.6 \) 時間。
5. 合計： \( 2 + 1.6 = 3.6 \) 時間 = 3時間36分。

よくある間違いとそれを避ける方法

• レートではなく時間を足してしまう — 最も一般的な間違いです。Aが6時間、Bが4時間かかる場合、答えは5時間（平均）でも10時間（合計）でもありません。レートを足して求められる2.4時間です。
• 共同作業時間が速い方の作業者よりも長くなる — 共同作業時間は、 \( T_A \) と \( T_B \) の両方よりも短くなければなりません。計算結果がそれより大きくなった場合は、計算ミスをしています。
• 決して満たされない配管 — 排水レートが給水レート以上の場合、どれだけ時間をかけてもタンクは満たされません。ソルバーは警告を表示します。
• 時間単位の混合 — ある入力は分で、別の入力は時間で行うと、無意味な結果になります。上部で1つの単位を選択し、すべてにそれを使用してください。
• 交代制シフト：最後の端数シフトを忘れない — A+Bのフルサイクルを数えた後、通常はシフトの途中で作業が終わります。その最終的な部分シフトを正確に計算してください。
• 一部完了：Bが加わる前にAが終わってしまう可能性 — \( r_A \cdot t_{solo} \geq 1 \) の場合、Aはすでに終えており、Bは働きません。電卓はこのケースを自動的に処理します。

クイックリファレンス — レート vs 時間

実生活における仕事算の例

• 建設と請負 — 各メンバーの単独のペースがわかっている場合に、2人の作業員でどのくらいかかるかを見積もる。
• 配管とプランミング — タンクが決められた時間内に目標レベルに達するように、ポンプとオーバーフロー排水のサイズを決定する。
• ソフトウェアと CI — 2つのテストランナーを並列で実行する場合。実時間は最も遅いものに依存しますが、スループットはレートの合計になります。
• 製造 — 同じライン上の複数のマシン。合計スループットは、マシンごとのスループットの合計です。
• 教育 — 仕事算は SAT/ACT、GRE、GMAT、およびほとんどの代数の教科書（有理方程式の章）の定番です。

よくある質問

2人の作業者が一緒に働く場合の公式は何ですか？

時間は足せませんが、レートは足せます。Aが仕事全体を \( T_A \) で、Bが \( T_B \) で終える場合、彼らの合計レートは \( 1/T_A + 1/T_B \) となり、共同作業時間は \( T = (T_A T_B)/(T_A + T_B) \) となります。例えば、Aが6時間、Bが4時間かかる場合、一緒に行うと \( T = 24/10 = 2.4 \) 時間になります。

なぜ仕事算では時間の逆数を使うのですか？

レートとは、単位時間あたりに完了する仕事の割合だからです。Aが6時間で仕事を終えるなら、Aは1時間ごとに仕事の \( 1/6 \) をこなします。2人の作業者が互いに邪魔をせずに協力する場合、それらの1時間あたりの割合は単純に加算されます。これがレート加算の法則です。

給水管と排水管の問題はどうやって解きますか？

給水レートから排水レートを引きます。給水管が \( T_f \) でタンクを満たし、排水管が \( T_d \) で空にする場合、正味のレートは \( 1/T_f - 1/T_d \) となり、空の状態から満タンにするまでの時間は \( 1 / (1/T_f - 1/T_d) \) です。タンクは給水が排水よりも速い場合にのみ満たされます。

交代制シフトの問題とは何ですか？

AとBが固定された長さのシフトで交代に作業します。A+Bの各サイクルの後、チームは仕事の \( L(r_A + r_B) \) を完了します。残りの作業が部分的なシフト内で完了できるまで、フルサイクルを繰り返します。この電卓は完了したサイクルを数え、最終的な部分シフトを正確に解決します。

Bが途中で加わる問題はどう扱いますか？

タイムラインを2つのフェーズに分けます。フェーズ1では、Aがレート \( r_A \) で単独時間 \( t_{solo} \) だけ働き、仕事の \( r_A t_{solo} \) を完了します。フェーズ2では、AとBが完了までレート \( r_A + r_B \) で一緒に働きます。合計時間は \( t_{solo} + (1 - r_A t_{solo})/(r_A + r_B) \) です。

共同作業時間がAの単独時間より長くなることはありますか？

それは不可能です。2人目の作業者が加わることは仕事を早めるだけで、遅くすることはありません。ソルバーはこの入力を拒否し、再確認を求めます。共同作業時間は、各作業者の単独時間よりも厳密に短くなければなりません。

これを3人以上の作業者に拡張できますか？

はい — レート加算の法則は一般化できます： \( 1/T = 1/T_A + 1/T_B + 1/T_C + \ldots \)。この電卓は2人の作業者（または2つの配管）に焦点を当てていますが、連鎖させることは可能です：まずA+Bを解き、その結果を1人の「スーパー作業者」として扱い、次の作業者を加えます。

どの時間単位でも機能しますか？

はい。レート加算の法則は、すべての箇所で同じ単位を使用している限り、単位に依存しません。単位セレクターで時間、分、日、または秒を選択すれば、電卓はその単位で回答を返します。