ベクトル間の角度電卓

ベクトル間の角度電卓

ベクトル間の角度電卓は、ドット積の公式 \(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) を使用して、2つの 2D または 3D ベクトル間の角度を求めます。ベクトルの成分を入力すると、角度（度数とラジアンの両方）、完全なステップバイステップの解法、ベクトルの大きさ、ドット積、単位ベクトル、射影、幾何学的な解釈、およびレイヤーを切り替え可能なインタラクティブな図が即座に表示されます。

ドット積による角度の公式

2つのベクトル \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) の間の角度 \(\theta\) は、ドット積の恒等式から導かれます：

$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

ここで：

• \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n\) は ドット積
• \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2}\) はベクトル a の 大きさ（ノルム）
• \(\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)\) は 0° から 180° の間の角度を与えます

ドット積の符号を理解する

実世界での応用

主要な公式

ベクトル間の角度電卓の使い方

1. ベクトル a を入力: 成分をカンマ区切りで入力します。2Dの場合は2つの成分（例：3, 4）、3Dの場合は3つの成分（例：1, 2, 3）を使用します。クイック例をクリックすると両方のフィールドが自動入力されます。
2. ベクトル b を入力: 2番目のベクトルの成分を、ベクトル a と同じ次元で入力します。
3. ライブプレビューを確認: 入力に合わせて図がリアルタイムで更新され、両方のベクトルと計算された角度が表示されます。
4. 「計算」をクリック: ボタンを押すと、度数とラジアンの角度、ステップバイステップの解法、関連するすべての数値、およびインタラクティブな図を含む完全な結果が表示されます。
5. 図を操作する: レイヤー（角度アーク、射影、グリッド、ラベル）を切り替えて、さまざまな可視化を試せます。3Dベクトルの場合は、ドラッグしてビューを回転させることができます。

2Dベクトル vs 3Dベクトル

ドット積の角度公式は 2D と 3D の両方で全く同じように機能します。異なるのは成分の数だけです。2D では、ベクトルは成分 (x, y) を持ち、図には明確な角度アークを伴う平面のデカルト座標が表示されます。3D では、ベクトルは成分 (x, y, z) を持ち、図には回転可能なインタラクティブな等角投影図が表示されます。数学的な原理は同じです。ドット積を計算し、大きさの積で割り、逆余弦をとります。

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