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シンプソン則電卓

シンプソンの1/3公式、3/8公式、複合公式で定積分を近似計算します。放物線をインタラクティブに可視化し、誤差推定、収束解析、手法の比較、途中式も確認できます。

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例:
ライブプレビュー
∿ 関数
対応: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e
📏 範囲と部分区間
注: n は最も近い偶数に調整されます。
注: n は最も近い3の倍数に調整されます。

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シンプソン則電卓

シンプソン則計算機は、サンプル点を通して放物線曲線（1/3則）または3次曲線（3/8則）を当てはめることにより、定積分を近似する強力な数値積分ツールです。点の間を直線で結ぶ台形公式とは異なり、シンプソン則は関数の曲率を捉えることで O(h⁴) の精度を実現します。これは微分積分学、工学、科学計算において最も広く使用されている手法の一つです。

主な機能

∿
2つの公式に対応
シンプソンの1/3則（2次補間、nは偶数）と3/8則（3次補間、nは3の倍数）から選択できます。どちらも MathJax による詳細なステップバイステップの解答が表示されます。
📐
インタラクティブな可視化
曲線の下に描かれた放物線セグメントを確認できます。ホバーすると個々のセグメントが強調表示され、その面積が表示されます。収束のアニメーション表示や、スライダーによる異なる n 値の探索も可能です。
⚖
手法の比較
同じ関数と範囲に対して、シンプソンの1/3則、3/8則、台形公式、および中点公式の結果を自動的に並べて比較します。どの手法が最適な近似を与えるかを確認できます。
⚡
誤差解析
4階導関数を使用した誤差限界の自動計算。誤差公式 \( |E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max|f^{(4)}| \) により、近似の正確さを正確に把握できます。

シンプソン則電卓の使い方

  1. 関数を入力する — x^2、sin(x)、exp(-x^2)、またはサポートされている関数の組み合わせなど、数学的な式 f(x) を入力します。
  2. 積分範囲を設定する — 下限 (a) と上限 (b) を入力し、部分区間の数 (n) を選択します。
  3. 公式を選択する — シンプソンの1/3則（nが偶数である必要があり、奇数の場合は自動調整されます）または3/8則（nが3の倍数である必要があり、自動調整されます）を選択します。
  4. 計算をクリックする — ツールが MathJax でレンダリングされた完全なステップバイステップの解答とともに近似値を計算します。
  5. 結果を確認する — 放物線の可視化を操作したり、セグメントごとの面積を確認したり、手法を比較したり、収束解析を学習したりします。

シンプソンの1/3則の解説

複合シンプソンの1/3則は、[a, b] を n 個の等しい部分区間（n は偶数である必要があります）に分割し、連続する3つの点ごとに放物線を当てはめます。

$$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

ここで \( \Delta x = \frac{b - a}{n} \) です。係数は 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1 というパターンに従います。各部分区間のペアは、3つの点を通る2次多項式を使用するため、線形補間よりもはるかに関数の曲率を適切に捉えることができます。

シンプソンの3/8則の解説

3/8則は、3つの部分区間のグループに対して3次補間を使用します（n は3の倍数である必要があります）。

$$S_{3/8} = \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + \cdots + f(x_n) \right]$$

係数は 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1 というパターンに従います。どちらの公式も O(h⁴) の精度を実現しますが、3/8則は n が偶数でない場合に有用です。

誤差の比較

手法誤差のオーダー誤差の限界厳密に一致する対象
台形公式\( O(h^2) \)\( \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max|f''| \)1次関数
シンプソンの1/3則\( O(h^4) \)\( \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max|f^{(4)}| \)3次関数以下
シンプソンの3/8則\( O(h^4) \)\( \frac{(b-a)^5}{80n^4} \max|f^{(4)}| \)3次関数以下

n を2倍にすると、台形公式では誤差が約4分の1になるのに対し、シンプソン則では誤差が約16分の1に減少します。これにより、滑らかな関数においてシンプソン則ははるかに速く収束します。

各公式の使い分け

対応している関数

この電卓は、幅広い数学関数をサポートしています。

よくある質問

シンプソン則とは何ですか？
シンプソン則は、サンプル点を通る放物線（または3次曲線）を当てはめることで定積分を近似する数値積分法です。滑らかな関数に対しては台形公式よりも大幅に精度が高く、誤差は台形公式の O(h²) に対して O(h⁴) のオーダーとなります。
シンプソンの1/3則と3/8則の違いは何ですか？
シンプソンの1/3則は、2つの部分区間ごとに2次（放物線）補間を使用し、偶数個の部分区間を必要とします。シンプソンの3/8則は、3つの部分区間ごとに3次補間を使用し、nが3の倍数であることを必要とします。一般的に同じnであれば1/3則の方が精度が高いですが、nが偶数でない場合には3/8則が有用です。
なぜシンプソンの1/3則は偶数個の部分区間が必要なのですか？
シンプソンの1/3則は、連続する3つの点（一度に2つの部分区間）に放物線を当てはめることで機能します。各放物線セグメントが正確に2つの部分区間にまたがるため、全体をカバーするには部分区間の総数が偶数である必要があります。
台形公式と比較してシンプソン則はどのくらい正確ですか？
シンプソンの1/3則の誤差は O(h⁴) ですが、台形公式は O(h²) です。これは、部分区間の数を2倍にすると、台形公式では誤差が約4分の1にしかならないのに対し、シンプソン則では約16分の1に減少することを意味します。滑らかな関数では、シンプソン則の方が圧倒的に正確です。
電卓にはどのような関数を入力できますか？
x^2 や x^3-2x+1 などの多項式、sin(x) や cos(x) などの三角関数、exp(x) や ln(x) などの指数・対数関数、sqrt(x) などの根号、およびそれらの組み合わせを入力できます。定数 pi や e もサポートされています。指数には ^ を使用し、標準的な関数表記を使用してください。

このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合：

"シンプソン則電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/シンプソン則計算機/）、MiniWebtool、https://MiniWebtool.com/

miniwebtool チームによる提供。更新日: 2026-04-05

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