クラメルの公式電卓
クラメルの公式で2元・3元の連立一次方程式を解きます。係数を入力すると、解と行列式の計算過程を表示し、行列のアニメーションやグラフでも確認できます。
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クラメルの公式電卓
クラメールの公式計算機は、行列式を使って2元または3元連立一次方程式を解きます。係数行列と定数ベクトルを入力すると、段階的な行列式計算、列の置き換えを示すアニメーション表示、2×2の連立方程式に対する幾何学的解釈のグラフとともに、完全な解が得られます。クラメールの公式は線形代数の基本手法で、各変数を2つの行列式の比として表します。
What Is Cramer's Rule?
クラメールの公式は、未知数と同数の式からなる連立一次方程式について、一意な解を持つ場合にその明示的な解法を与える線形代数の定理です。スイスの数学者ガブリエル・クラメール（1704–1752）にちなんで名付けられ、行列式を使って各変数を次の比で表します。
$$x_i = \frac{D_i}{D}$$
ここで\(D\)は係数行列の行列式、\(D_i\)は係数行列の\(i\)番目の列を定数ベクトルに置き換えて作った行列の行列式です。
Key Concepts
Determinant
A scalar value computed from a square matrix that indicates whether the system has a unique solution.
Column Replacement
Replace one column of the coefficient matrix with the constants vector to form each D_i.
Unique Solution
Exists when D ≠ 0. Each variable equals D_i / D.
Singular Case
When D = 0, the system has either no solution or infinitely many.
Cramer's Rule Formulas
For a 2×2 System
Given the system:
$$a_1x + b_1y = c_1$$ $$a_2x + b_2y = c_2$$
| Determinant | Formula | Description |
|---|---|---|
| \(D\) | \(\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - b_1 a_2\) | Coefficient matrix determinant |
| \(D_x\) | \(\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1 b_2 - b_1 c_2\) | Replace x-column with constants |
| \(D_y\) | \(\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1 c_2 - c_1 a_2\) | Replace y-column with constants |
Solution: \(x = D_x / D\), \(y = D_y / D\)
For a 3×3 System
3×3行列の行列式は、1行目に沿った余因子展開で計算します。各\(D_i\)は対応する列を定数ベクトルに置き換えて作られ、解は\(x_i = D_i / D\)です。
When Does Cramer's Rule Work?
| Condition | D Value | Result |
|---|---|---|
| Unique solution | D ≠ 0 | Each variable = D_i / D |
| No solution (inconsistent) | D = 0, some D_i ≠ 0 | Lines/planes are parallel |
| Infinitely many solutions | D = 0, all D_i = 0 | Equations are dependent |
Cramer's Rule vs. Other Methods
| Method | Best For | Limitation |
|---|---|---|
| Cramer's Rule | Small systems (2×2, 3×3), exact symbolic solutions | Slow for large systems (n! complexity) |
| Gaussian Elimination | General systems, large matrices | No closed-form formula |
| Matrix Inverse | Multiple right-hand sides | Requires D ≠ 0, expensive to compute |
| LU Decomposition | Repeated solving, numerical stability | More complex to implement |
How to Use the Cramer's Rule Calculator
- 連立方程式のサイズを選択：方程式と未知数の数に応じて2×2または3×3を選びます。
- 係数を入力：左側の係数行列に入力します。各行が1つの方程式に対応し、各列が変数（x、y、z）に対応します。
- 定数を入力：右側の定数ベクトル（各方程式の右辺）に入力します。
- 「Solve」をクリック：計算機はすべての行列式（D、D_x、D_y、必要に応じてD_z）を計算し、解の種類を判定して、アニメーションによる行列表示とともに段階的な計算過程を示します。
Real-World Applications
| Field | Application | Example |
|---|---|---|
| Engineering | Circuit analysis (Kirchhoff's laws) | Finding currents in a resistor network |
| Economics | Market equilibrium | Supply and demand intersection |
| Physics | Force balance | Finding reaction forces in statics |
| Chemistry | Balancing equations | Stoichiometric coefficients |
| Computer Graphics | Coordinate transformations | Line/plane intersection points |
FAQ
What is Cramer's rule?
Cramer's rule is a method for solving a system of linear equations using determinants. For each variable, you replace its column in the coefficient matrix with the constants vector and divide the resulting determinant by the main determinant. It works when the coefficient matrix has a nonzero determinant.
When does Cramer's rule fail?
Cramer's rule fails when the determinant of the coefficient matrix is zero. This means the system either has no solution (inconsistent — the equations describe parallel lines or planes) or infinitely many solutions (dependent — the equations are redundant). In such cases, other methods like Gaussian elimination are needed.
What is the formula for Cramer's rule in a 2×2 system?
For the system a1*x + b1*y = c1, a2*x + b2*y = c2: x = Dx/D and y = Dy/D, where D = a1*b2 - b1*a2 is the determinant of the coefficient matrix, Dx replaces the x-column with the constants, and Dy replaces the y-column with the constants.
Can Cramer's rule solve systems larger than 3×3?
Cramer's rule can theoretically solve any n×n system, but it becomes computationally expensive for large systems because it requires computing n+1 determinants, each of size n×n. For systems larger than 3×3, methods like Gaussian elimination or LU decomposition are far more efficient in practice.
What does a zero determinant mean geometrically?
For a 2×2 system, a zero determinant means the two lines are parallel (no solution) or coincident (infinitely many solutions). For a 3×3 system, it means the three planes do not intersect at a single point — they may be parallel, intersect along a line, or all coincide in a plane.
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"クラメルの公式電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/クラメルの公式計算機/）、MiniWebtool、https://MiniWebtool.com/
by miniwebtool team. Updated: 2026-04-12
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