Calculateur de domaine et d'image

Calculateur de domaine et d'image

Bienvenue sur notre Calculateur de domaine et d'image, un outil en ligne gratuit qui vous aide à trouver le domaine et l'image des fonctions algébriques. Que vous soyez un étudiant apprenant les fonctions, préparant des examens, ou un enseignant créant des exemples, ce calculateur fournit une analyse étape par étape avec des résultats clairs en notation par intervalle.

Qu'est-ce que le domaine d'une fonction ?

Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'entrée possibles (généralement les valeurs x) pour lesquelles la fonction produit une sortie valide. En d'autres termes, il représente toutes les valeurs de x que vous pouvez substituer dans la fonction sans provoquer d'erreurs mathématiques.

Les restrictions courantes qui limitent le domaine incluent :

• Division par zéro : Le dénominateur d'une fraction ne peut pas être égal à zéro
• Racines carrées de nombres négatifs : Les racines paires nécessitent des radicandes non négatifs dans les nombres réels
• Logarithmes : L'argument d'un logarithme doit être positif
• Fonctions trigonométriques inverses : Ont des restrictions d'entrée spécifiques

Qu'est-ce que l'image d'une fonction ?

L'image d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles (généralement les valeurs y) que la fonction peut produire. Elle représente toutes les valeurs que f(x) peut réellement atteindre lorsque x varie sur le domaine.

Trouver l'image nécessite souvent d'analyser :

• Valeurs minimales et maximales : Quelles sont les plus grandes et les plus petites sorties ?
• Comportement asymptotique : Que se passe-t-il lorsque x s'approche de l'infini ou de certaines valeurs ?
• Transformations de fonctions : Comment les décalages et les étirements affectent la sortie

Types de fonctions courants et leur domaine/image

Comment trouver le domaine - Étape par étape

Étape 1 : Identifier les restrictions potentielles

Recherchez les opérations qui ont des restrictions d'entrée :

• Fractions - les dénominateurs ne peuvent pas être égaux à zéro
• Racines paires (racines carrées, racines quatrièmes, etc.) - le radicande doit être non négatif
• Logarithmes - l'argument doit être positif

Étape 2 : Résoudre pour les valeurs restreintes

Pour chaque restriction identifiée, résolvez l'équation ou l'inégalité pour trouver les valeurs exclues.

Étape 3 : Écrire le domaine en notation par intervalle

Exprimez le domaine en utilisant la notation par intervalle, en excluant les valeurs restreintes. Utilisez des parenthèses ( ) pour les intervalles ouverts (valeur non incluse) et des crochets [ ] pour les intervalles fermés (valeur incluse).

Exemples

Exemple 1 : Fonction rationnelle

Trouver le domaine de $f(x) = \frac{1}{x-2}$

Solution : Le dénominateur $x-2 = 0$ quand $x = 2$. Par conséquent, le domaine est $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$, ce qui signifie tous les nombres réels sauf 2.

Exemple 2 : Fonction racine carrée

Trouver le domaine de $f(x) = \sqrt{x-3}$

Solution : Le radicande $x-3 \geq 0$, donc $x \geq 3$. Le domaine est $[3, +\infty)$.

Exemple 3 : Fonction logarithmique

Trouver le domaine de $f(x) = \log(x+1)$

Solution : L'argument $x+1 > 0$, donc $x > -1$. Le domaine est $(-1, +\infty)$.

Guide de notation par intervalle

• $(a, b)$ - Intervalle ouvert : tous les nombres entre a et b, sans inclure a et b
• $[a, b]$ - Intervalle fermé : tous les nombres entre a et b, incluant a et b
• $(a, b]$ - Intervalle semi-ouvert : inclut b mais pas a
• $[a, b)$ - Intervalle semi-ouvert : inclut a mais pas b
• $(-\infty, a)$ - Tous les nombres inférieurs à a
• $(a, +\infty)$ - Tous les nombres supérieurs à a
• $\cup$ - Symbole d'union : combine deux ou plusieurs intervalles

Conseils pour utiliser ce calculateur

• Entrez les fonctions en utilisant x comme variable
• Utilisez ^ ou ** pour les exposants (par exemple, x^2 ou x**2)
• Utilisez sqrt(x) pour la racine carrée
• Utilisez log(x) pour le logarithme naturel (népérien)
• Utilisez sin(x), cos(x), tan(x) pour les fonctions trigonométriques
• Utilisez exp(x) ou e^x pour la fonction exponentielle

Foire aux questions

Une fonction peut-elle avoir un domaine vide ?

Oui, une fonction peut avoir un domaine vide s'il n'existe aucune valeur réelle de x qui rend la fonction définie. Par exemple, $f(x) = \sqrt{-x^2-1}$ n'a pas de domaine réel car $-x^2-1$ est toujours négatif.

En quoi le domaine est-il différent de l'image ?

Le domaine fait référence à toutes les valeurs d'entrée possibles (valeurs x), tandis que l'image fait référence à toutes les valeurs de sortie possibles (valeurs y). Pensez au domaine comme ce que vous pouvez mettre dans la fonction, et à l'image comme ce que vous pouvez en obtenir.

Pourquoi l'infini est-il écrit avec des parenthèses ?

L'infini est toujours écrit avec des parenthèses car ce n'est pas un nombre réel qui peut être atteint ou inclus. Nous ne pouvons qu'approcher l'infini, jamais l'inclure réellement dans un intervalle.

Ressources supplémentaires

Pour en savoir plus sur le domaine et l'image des fonctions :

• Domaine de définition - Wikipédia
• Domaine et image - Khan Academy
• Domain - Wolfram MathWorld (en anglais)