Calculadora de Distância de Ponto a Plano

Q: Qual é a fórmula da distância de um ponto a um plano?

A distância perpendicular de um ponto P(x₀, y₀, z₀) ao plano Ax + By + Cz + D = 0 é dada por d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Esta fórmula calcula a menor distância (perpendicular) do ponto ao plano.

Q: O que é o pé da perpendicular de um ponto a um plano?

O pé da perpendicular é o ponto no plano que está mais próximo do ponto dado. Ele é encontrado projetando o ponto no plano ao longo da direção do vetor normal. Se P é o ponto e n é o vetor normal, então Pé = P - t·n onde t = (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)/(A² + B² + C²).

Q: Como defino a equação do plano Ax + By + Cz + D = 0?

A equação do plano Ax + By + Cz + D = 0 é definida por quatro coeficientes: A, B, C (as componentes do vetor normal ao plano) e D (uma constante que determina a posição do plano). Quaisquer três pontos não colineares podem definir um plano, ou equivalentemente, um vetor normal e um ponto no plano.

Q: Esta fórmula funciona para 2D (distância de ponto a reta)?

Sim, a fórmula d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) é a análoga em 2D para a distância de um ponto (x₀, y₀) a uma reta Ax + By + C = 0. A fórmula 3D de ponto a plano é uma generalização direta deste conceito.

Calcule a menor distância perpendicular de um ponto (x₀, y₀, z₀) a um plano Ax + By + Cz + D = 0. Obtenha a solução passo a passo, o pé da perpendicular, visualização 3D interativa e análise geométrica.

Calculadora de Distância de Ponto a Plano

Tente um exemplo:

Básico (1,2,3) → 2x−y+2z−5=0 Origem → plano z=5 (3,−1,4) → x+y+z=6 (5,5,5) → x+2y−2z+3=0

P Coordenadas do Ponto

x₀

y₀

z₀

π Equação do Plano: Ax + By + Cz + D = 0

Ax + By + Cz + D = 0

Precisão:

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Calculadora de Distância de Ponto a Plano

Bem-vindo à Calculadora de Distância Ponto Plano — uma ferramenta interativa de geometria 3D que calcula a menor distância perpendicular de um ponto a um plano, com fórmulas passo a passo, o pé da perpendicular, uma visualização 3D arrastável e análise geométrica detalhada. Seja você um estudante, engenheiro ou entusiasta da matemática, esta ferramenta torna o cálculo de distância em 3D instantâneo e visual.

Fórmula da Distância de Ponto a Plano

A distância perpendicular (mais curta) de um ponto $P(x_0, y_0, z_0)$ ao plano $Ax + By + Cz + D = 0$ é:

Distância Ponto-a-Plano

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Onde:

$A, B, C$ são as componentes do vetor normal ao plano
$D$ é a constante na equação do plano
$(x_0, y_0, z_0)$ são as coordenadas do ponto
O denominador $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ é a magnitude do vetor normal

Entendendo a Fórmula

Por que esta fórmula funciona?

A fórmula da distância vem da projeção do vetor de qualquer ponto no plano até o ponto P sobre o vetor normal unitário do plano. Se Q é qualquer ponto no plano, então a distância perpendicular é:

$$d = |(\vec{QP}) \cdot \hat{n}| = \frac{|\vec{QP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

Como $\vec{n} = (A, B, C)$ e qualquer ponto Q no plano satisfaz $Ax_Q + By_Q + Cz_Q + D = 0$, o produto escalar simplifica para $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D$.

Distância Sinalizada

Ao remover o valor absoluto, obtém-se a distância sinalizada:

Distância Sinalizada

$$d_{\text{sinalizada}} = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Positiva: O ponto está no mesmo lado que o vetor normal
Negativa: O ponto está no lado oposto
Zero: O ponto reside exatamente sobre o plano

Pé da Perpendicular

O pé da perpendicular é o ponto no plano mais próximo do ponto dado. Ele é encontrado movendo-se de P ao longo da direção normal negativa por uma distância igual à distância sinalizada:

Pé da Perpendicular

$$F = P - \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \vec{n}$$

Onde $\vec{n} = (A, B, C)$ é o vetor normal. O parâmetro $t = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2}$ representa o quanto devemos percorrer ao longo da direção normal a partir de P para alcançar o plano.

Como usar esta calculadora

Insira as coordenadas do ponto: Informe x₀, y₀, z₀ para o ponto no espaço 3D. Números negativos e decimais são suportados.
Insira a equação do plano: Informe A, B, C, D para o plano Ax + By + Cz + D = 0. Pelo menos um de A, B ou C deve ser diferente de zero.
Defina a precisão: Escolha as casas decimais para os resultados.
Clique em Calcular: Veja a distância, o pé da perpendicular, o normal unitário, a solução passo a passo e a visualização 3D interativa.
Interaja com a visualização 3D: Arraste a imagem para girar e explorar a relação geométrica.

Fórmulas de Distância Relacionadas

Fórmula	Descrição	Dimensão
Ponto a Plano	$d = \frac{\|Ax_0+By_0+Cz_0+D\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$	3D
Ponto a Reta (2D)	$d = \frac{\|Ax_0+By_0+C\|}{\sqrt{A^2+B^2}}$	2D
Ponto a Ponto	$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$	3D
Planos Paralelos	$d = \frac{\|D_1 - D_2\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$	3D

Aplicações Comuns

Computação Gráfica e Desenvolvimento de Jogos

A distância de ponto a plano é fundamental na detecção de colisão, determinando se objetos intersectam superfícies. Também é usada em frustum culling para determinar quais objetos são visíveis para a câmera e em algoritmos de shadow mapping.

Engenharia e CAD

Engenheiros usam este cálculo para análise de tolerância (garantindo que as peças atendam às especificações), medição de desvio de superfície e controle de qualidade na fabricação. Máquinas CNC dependem da distância ponto a plano para cálculos de trajetória de ferramenta.

Física e Navegação

Na física, esta fórmula ajuda a calcular a distância de uma carga pontual a um plano condutor ou a altitude de uma aeronave acima de uma superfície de terreno inclinada. Sistemas de GPS usam cálculos semelhantes para posicionamento relativo a planos de referência.

Machine Learning e Ciência de Dados

Em máquinas de vetores de suporte (SVM), a margem entre as classes é computada como a distância dos pontos de dados ao hiperplano separador. Este conceito estende-se naturalmente da fórmula 3D para dimensões superiores.

Perguntas Frequentes

Qual é a fórmula da distância de um ponto a um plano?

A distância perpendicular do ponto P(x₀, y₀, z₀) ao plano Ax + By + Cz + D = 0 é d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Isso fornece a distância mais curta, que é sempre perpendicular ao plano.

O que é o pé da perpendicular de um ponto a um plano?

O pé da perpendicular é o ponto no plano mais próximo do ponto dado. Ele é encontrado projetando o ponto no plano ao longo do vetor normal: F = P − t·n, onde t = (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)/(A² + B² + C²) e n = (A, B, C).

O que significa a distância sinalizada de um ponto a um plano?

A distância sinalizada indica em qual lado do plano o ponto está. Positivo significa o mesmo lado que o vetor normal, negativo significa o lado oposto e zero significa que o ponto está sobre o plano. Isso é útil na detecção de colisões e classificação de meio-espaço.

Como defino a equação do plano Ax + By + Cz + D = 0?

Os coeficientes A, B, C formam o vetor normal ao plano e D posiciona o plano. Dado um ponto Q no plano e o normal (A, B, C), então D = −(Ax_Q + By_Q + Cz_Q). Você também pode derivar a equação a partir de três pontos não colineares usando o produto vetorial.

Esta fórmula funciona para 2D (distância de ponto a reta)?

Sim! O análogo em 2D para a distância do ponto (x₀, y₀) à reta Ax + By + C = 0 é d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²). A fórmula 3D é uma generalização direta deste conceito para dimensões superiores.

Recursos Adicionais

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pela equipe miniwebtool. Atualizado em: 18 de fevereiro de 2026

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Fórmula da Distância de Ponto a Plano

Entendendo a Fórmula

Por que esta fórmula funciona?

Distância Sinalizada

Pé da Perpendicular

Como usar esta calculadora

Fórmulas de Distância Relacionadas

Aplicações Comuns

Computação Gráfica e Desenvolvimento de Jogos

Engenharia e CAD

Física e Navegação

Machine Learning e Ciência de Dados

Perguntas Frequentes

Qual é a fórmula da distância de um ponto a um plano?

O que é o pé da perpendicular de um ponto a um plano?

O que significa a distância sinalizada de um ponto a um plano?

Como defino a equação do plano Ax + By + Cz + D = 0?

Esta fórmula funciona para 2D (distância de ponto a reta)?

Recursos Adicionais

Ferramentas em destaque:

Fórmula	Descrição	Dimensão
Ponto a Plano	\(d = \frac{\|Ax_0+By_0+Cz_0+D\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)	3D
Ponto a Reta (2D)	\(d = \frac{\|Ax_0+By_0+C\|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)	2D
Ponto a Ponto	\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)	3D
Planos Paralelos	\(d = \frac{\|D_1 - D_2\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)	3D