我該如何選擇率參數 lambda (λ)？

Lambda 代表單位時間內的平均事件數。如果您知道事件之間的平均時間（平均值），則 lambda = 1 / 平均值。例如，如果客戶平均每 5 分鐘到達一次，則 lambda = 1/5 = 0.2 每分鐘到達次數。Lambda 必須為正數。

指數分佈計算機

計算機率、視覺化 PDF 與 CDF 曲線，並探索指數分佈的特性。輸入率參數 λ (lambda) 和數值 x，即可獲得 P(X ≤ x)、P(X > x)、P(a ≤ X ≤ b)、平均值、變異數、中位數，以及帶有互動式圖表的逐步解題步驟。

指數分佈計算機

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指數分佈計算機

指數分佈計算機可計算指數分佈 $X \sim \text{Exp}(\lambda)$ 的機率、視覺化機率密度函數 (PDF) 和累積分佈函數 (CDF)，並顯示分佈屬性。輸入率參數 $\lambda$ 和 $x$ 值即可獲得 $P(X \leq x)$、$P(X > x)$ 或 $P(a \leq X \leq b)$，以及逐步解題步驟、交互式圖表和關鍵統計數據（如平均值、變異數和中位數）。

什麼是指數分佈？

指數分佈是一種連續機率分佈，用於模擬卜瓦松過程中事件之間的時間間隔——在該過程中，事件以恆定的平均速率 $\lambda$ 連續且獨立地發生。它由單一參數 $\lambda > 0$（率參數）定義，其機率密度函數 (PDF) 為：

$$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$$

指數分佈廣泛應用於可靠性工程、排隊論、生存分析和電信領域，用於模擬等待時間、組件壽命和到達間隔時間。

關鍵特性

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無記憶性

P(X > s+t | X > s) = P(X > t)。唯一的連續無記憶分佈。

📏

平均值 = 1/λ

預期等待時間是率參數的倒數。

🔗

卜瓦松關聯

如果事件遵循 Poisson(λ)，則事件間的時間遵循 Exp(λ)。

↗

右偏

偏度 = 2。大多數值聚集在 0 附近，並帶有長長的右尾。

公式

屬性	公式	說明
PDF	$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$	x 處的機率密度
CDF	$F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$	X ≤ x 的機率
生存函數	$S(x) = e^{-\lambda x}$	X > x 的機率
平均值	$\mu = \frac{1}{\lambda}$	期望值
變異數	$\sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}$	分佈的離散程度
中位數	$\frac{\ln 2}{\lambda}$	第 50 百分位數
眾數	$0$	最可能出現的值
偏度	$2$	始終為右偏
峰度	$6$	超額峰度
MGF	$\frac{\lambda}{\lambda - t}$ 對於 $t < \lambda$	動差生成函數

實際應用

領域	λ 代表什麼	X 模擬什麼
排隊論	客戶到達率	客戶到達之間的時間
可靠性	組件故障率	直到下次故障的時間
電信	通話到達率	電話撥入之間的時間
核物理	衰變率	放射性衰變事件之間的時間
金融	違約率	直到貸款違約的時間
流行病學	感染率	感染事件之間的時間

指數分佈 vs. 卜瓦松分佈

指數分佈和卜瓦松分佈密切相關，但模擬的物理量不同：

特徵	指數分佈	卜瓦松分佈
類型	連續	離散
模擬對象	事件之間的時間	區間內的事件數量
參數	λ (速率)	λ (速率 × 時間)
支持集	[0, ∞)	{0, 1, 2, ...}
平均值	1/λ	λ

如何使用指數分佈計算機

輸入率參數 λ： 這是單位時間內的平均事件數。例如，如果公車平均每 10 分鐘到達一輛，則 λ = 1/10 = 0.1 輛/分鐘。
選擇機率類型： 選擇 P(X ≤ x) 計算累積機率，P(X > x) 計算生存機率，或 P(a ≤ X ≤ b) 計算範圍機率。
輸入 x 值或範圍： 對於單點機率，輸入 x。對於範圍機率，同時輸入下限 a 和上限 b。
查看結果： 檢查機率、帶有陰影機率區域的交互式 PDF 和 CDF 圖表、分佈屬性（平均值、變異數、中位數）以及完整的逐步解題步驟。

常見問題 (FAQ)

什麼是指數分佈？

指數分佈是一種連續機率分佈，用於模擬以恆定平均速率發生的獨立事件之間的時間間隔。它由單一率參數 λ (lambda) 定義。對於 x ≥ 0，機率密度函數為 f(x) = λe^(−λx)。它常用於模擬等待時間、服務時間和組件壽命。

指數分佈的無記憶性是什麼？

無記憶性意味著再等待 t 單位時間的機率與您已經等待了多久無關。在數學上表示為 P(X > s+t | X > s) = P(X > t)。指數分佈是唯一具有此特性的連續分佈。這使其成為模擬未來不依賴於過去的過程（如直到下一次電話撥入的時間或電子元件的壽命）的理想選擇。

指數分佈與卜瓦松分佈之間的關係是什麼？

如果事件按照每單位時間率為 λ 的卜瓦松過程發生，那麼連續事件之間的時間間隔遵循具有相同率參數 λ 的指數分佈。卜瓦松分佈計算固定時間間隔內的事件數量，而指數分佈則模擬事件之間的等待時間。它們是同一枚硬幣的兩面。

我該如何選擇率參數 λ？

Lambda (λ) 代表單位時間內的平均事件數。如果您知道事件之間的平均時間（平均值），則 λ = 1/平均值。例如，如果客戶平均每 5 分鐘到達一次，則 λ = 1/5 = 0.2 每分鐘到達次數。如果一台機器平均每 100 小時發生一次故障，則 λ = 1/100 = 0.01 每小時故障次數。Lambda 必須為正數。

指數分佈可以取負值嗎？

不可以，指數分佈僅定義為非負值 (x ≥ 0)。對於任何小於 0 的 x，機率密度函數均為零。這在直覺上是合理的，因為它通常模擬持續時間或等待時間，而這些不可能是負數。

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"指數分佈計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/指數分佈計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊編寫。更新日期：2026-04-14

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什麼是指數分佈？

關鍵特性

公式

實際應用

指數分佈 vs. 卜瓦松分佈

如何使用指數分佈計算機

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統計與數據分析:

常用工具:

屬性	公式	說明
PDF	\(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\)	x 處的機率密度
CDF	\(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\)	X ≤ x 的機率
生存函數	\(S(x) = e^{-\lambda x}\)	X > x 的機率
平均值	\(\mu = \frac{1}{\lambda}\)	期望值
變異數	\(\sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}\)	分佈的離散程度
中位數	\(\frac{\ln 2}{\lambda}\)	第 50 百分位數
眾數	\(0\)	最可能出現的值
偏度	\(2\)	始終為右偏
峰度	\(6\)	超額峰度
MGF	\(\frac{\lambda}{\lambda - t}\) 對於 \(t < \lambda\)	動差生成函數