z变换计算器

z变换计算器可将离散时间序列转换为 \(X(z)\)，并将有理变换式展开回因果样本。它专为数字信号处理、控制系统、递推关系、差分方程和滤波器分析而设计，在这些领域中，零极点图和收敛域与代数公式同样重要。

Z 变换公式

本工具默认使用单边约定。对于逆变换，它将输入重写为 \(q=z^{-1}\) 的有理函数，展开 \(X(q)=N(q)/D(q)\)，并将 \(q^n\) 的系数读取为 \(x[n]\)。

支持的输入

如何使用

1. 选择变换方向。 为序列 x[n] 选择正向 Z 变换，或为有理式 X(z) 选择逆 Z 变换。
2. 输入序列或变换式。 对于正向变换，输入公式如 0.5^n, n*0.8^n, cos(pi/4*n) 或有限样本列表。对于逆变换，输入有理表达式如 1/(1 - 0.5*z^-1)。
3. 设置样本数量。 选择在表格和条形图中显示的 x[n] 样本数量。
4. 点击计算。 计算器返回 Z 变换表达式、因果 ROC、极点、零点、前几个样本和计算说明。
5. 查看 z 平面。 使用 z 平面图检查极点位置、零点位置和单位圆参考。

常见 Z 变换对

常见问题

什么是 Z 变换？

Z 变换将离散时间序列 x[n] 转换为复域函数 X(z) = Σ x[n]z^-n。它是 Laplace 变换的离散时间对应物，广泛用于数字滤波器、信号分析、控制系统和递推关系。

什么是收敛域？

收敛域（ROC）是使无限 Z 变换求和收敛的 z 值集合。对于右侧因果序列，ROC 位于最外层极点之外，因此其形式为 |z| 大于极点半径。

此计算器返回哪种逆 Z 变换？

此计算器返回因果单边逆 Z 变换。它将 X(z) 展开为 q = z^-1 的幂级数，因此 q^n 的系数即为显示的 x[n] 样本。

我可以输入像 z/(z-a) 这样的表达式吗？

可以。解析器接受 z 域表达式如 z/(z-0.5)，以及 q 表示法（其中 q = z^-1）和直接的 z^-1 表示法如 1/(1 - 0.5*z^-1)。

正向变换支持哪些序列公式？

正向模式支持有限样本列表和常见的右侧公式，包括常数、a^n、n*a^n、n^2*a^n、sin(ωn)、cos(ωn)、加权阻尼正弦、u[n] 和 delta[n-k]。

参考资料

• Z-transform — 维基百科
• 零极点图 — 维基百科
• 数字滤波器 — 维基百科