三角恒等式计算器
当已知一个三角函数值时，本工具可利用基本恒等式（勾股恒等式、和差公式、二倍角公式和半角公式）求出其他三角函数值。非常适合学习和验证三角恒等式！
三角恒等式计算器
三角恒等式计算器
欢迎使用我们的 三角恒等式计算器。该工具可以利用基本的三角恒等式计算未知的三角函数值。当你已知某个三角函数的值（例如 $\sin(x)$ 或 $\cos(x)$）以及角所在的象限时，计算器会求出其余各三角函数，并应用多种恒等式进行推导。
本计算器的功能
给定一个已知的三角函数值以及角 x 所在的象限，本计算器可以：
- 计算六个基本三角函数： $\sin(x)$、$\cos(x)$、$\tan(x)$、$\csc(x)$、$\sec(x)$、$\cot(x)$
- 应用二倍角公式： 计算 $\sin(2x)$、$\cos(2x)$ 和 $\tan(2x)$
- 应用半角公式： 计算 $\sin(x/2)$、$\cos(x/2)$ 和 $\tan(x/2)$
- 确定精确角度： 以度和弧度两种形式给出
- 验证恒等式： 检验勾股恒等式 $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ 的近似成立
重要三角恒等式
勾股恒等式
- $$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$
- $$1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)$$
- $$1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)$$
二倍角公式
- $$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$
- $$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$$
- $$\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$$
半角公式
- $$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}$$
- $$\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}}$$
- $$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}$$
象限与三角函数符号
三角函数在不同象限中的符号如下：
- 第一象限 (0°–90°)： 所有三角函数都为正 (A)
- 第二象限 (90°–180°)： 只有正弦和余割为正 (S)
- 第三象限 (180°–270°)： 只有正切和余切为正 (T)
- 第四象限 (270°–360°)： 只有余弦和正割为正 (C)
英文记忆法：“All Students Take Calculus”（A–S–T–C）。
倒数恒等式
- $\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$
- $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$
- $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$
如何使用本计算器
- 选择已知函数： 选择你已知数值的三角函数（sin、cos、tan、csc、sec 或 cot）。
- 输入已知值： 输入对应的数值。
- 选择象限： 选择角 x 所在的象限（决定其他函数的符号）。
- 选择恒等式类型： 选择要应用的恒等式（勾股、二倍角、半角或全部）。
- 设置精度： 选择小数位数（1–100）。
- 点击“计算”： 查看带有逐步说明的完整结果。
应用场景
- 教育： 学习和验证三角恒等式
- 工程： 信号处理、波形分析
- 物理： 简谐运动和振动问题
- 导航： 角度与距离的计算
- 计算机图形学： 旋转与变换矩阵
更多资源
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由 miniwebtool 团队提供。更新日期：2025 年 11 月 24 日
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