เครื่องคำนวณอนุกรมแมคลอริน

คำนวณการกระจายอนุกรมแมคลอรินของฟังก์ชันทั่วไปที่ x=0 รับพจน์พหุนามลำดับที่ n, การประมาณค่าคงเหลือแบบ Lagrange, รัศมีของการลู่เข้า และกราฟแอนิเมชันแบบโต้ตอบที่แสดงว่าผลรวมย่อยลู่เข้าสู่ฟังก์ชันเดิมอย่างไร

Embed เครื่องคำนวณอนุกรมแมคลอริน Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณอนุกรมแมคลอริน

เครื่องคำนวณอนุกรมแมคลอริน จะคำนวณการกระจายอนุกรมแมคลอรินของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ทั่วไปที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ x = 0 โดยจะสร้างการประมาณค่าพหุนามอันดับที่ n แสดงตารางสัมประสิทธิ์ที่สมบูรณ์ ให้ค่าประมาณเศษเหลือของลากรานฌ์สำหรับการวิเคราะห์ข้อผิดพลาด แสดงรัศมีแห่งการลู่เข้า และมีกราฟแอนิเมชันที่โต้ตอบได้เพื่อแสดงภาพว่าผลรวมบางส่วนลู่เข้าสู่ฟังก์ชันเดิมอย่างไร

การกระจายอนุกรมแมคลอรินที่พบบ่อย

ℯ

eˣ

1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

∿

sin(x)

x − x³/3! + x⁵/5! − ...

∾

cos(x)

1 − x²/2! + x⁴/4! − ...

㏑

ln(1+x)

x − x²/2 + x³/3 − ...

∡

arctan(x)

x − x³/3 + x⁵/5 − ...

∞

1/(1−x)

1 + x + x² + x³ + ...

สูตรสำคัญ

แนวคิด	สูตร	คำอธิบาย
อนุกรมแมคลอริน	\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\)	อนุกรมเทย์เลอร์ที่ a = 0
สัมประสิทธิ์ลำดับที่ n	\(a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\)	สัมประสิทธิ์ของ xⁿ
เศษเหลือของลากรานฌ์	\(\|R_n(x)\| \leq \frac{M \|x\|^{n+1}}{(n+1)!}\)	ขอบเขตบนของข้อผิดพลาดจากการตัดตอน
รัศมีแห่งการลู่เข้า	\(R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \|a_n\|^{1/n}}\)	ช่วงที่อนุกรมลู่เข้า

ทำความเข้าใจอนุกรมแมคลอริน

อนุกรมแมคลอรินแสดงฟังก์ชันในรูปของพหุนามอนันต์โดยใช้ข้อมูลเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ x = 0 พจน์ลำดับที่ศูนย์คือ f(0) พจน์อันดับหนึ่งจะจับความชัน f'(0) พจน์อันดับสองจะจับความโค้ง f''(0)/2! และเป็นเช่นนี้ต่อไป แต่ละพจน์ที่เพิ่มเข้ามาจะช่วยปรับปรุงการประมาณค่าให้แม่นยำยิ่งขึ้น โดยสอดคล้องกับอนุพันธ์อีกหนึ่งลำดับที่จุดกำเนิด ภายในรัศมีแห่งการลู่เข้า ผลรวมอนันต์จะมีค่าเท่ากับฟังก์ชันอย่างแม่นยำ

วิธีใช้งาน เครื่องคำนวณอนุกรมแมคลอริน

เลือกฟังก์ชัน: เลือกจากดรอปดาวน์ (เช่น sin(x), eˣ, ln(1+x)) หรือคลิกปุ่มตัวอย่างด่วนเพื่อกรอกฟอร์มอัตโนมัติ
กรอกจำนวนพจน์: ระบุค่า n (0 ถึง 20) สำหรับอันดับพหุนาม ค่า n ที่สูงขึ้นจะให้ความแม่นยำมากขึ้นแต่จะมีจำนวนพจน์มากขึ้น
ระบุค่า x (ไม่บังคับ): พิมพ์ตัวเลขเพื่อประเมินค่าพหุนามและเปรียบเทียบกับค่าฟังก์ชันที่แม่นยำ พร้อมกับการวิเคราะห์ข้อผิดพลาด
คลิก กระจายอนุกรม: กดปุ่มเพื่อคำนวณการกระจายแมคลอรินทันที
สำรวจผลลัพธ์: ตรวจสอบสูตรพหุนาม ตารางสัมประสิทธิ์ และการหาอนุพันธ์ทีละขั้นตอน ใช้แถบเลื่อนหรือปุ่มแอนิเมชันบนกราฟการลู่เข้าเพื่อดูว่าการเพิ่มพจน์ช่วยให้ค่าประมาณเข้าใกล้ฟังก์ชันมากขึ้นอย่างไร

ความแตกต่างระหว่างแมคลอรินและเทย์เลอร์

อนุกรมเทย์เลอร์ เป็นการสรุปการประมาณค่าพหุนามไปยังจุดศูนย์กลาง a ใดๆ: \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\) ส่วน อนุกรมแมคลอริน เป็นกรณีพิเศษที่ a = 0 ซึ่งทำให้สูตรเรียบง่ายขึ้นเป็น \(f(x) = \sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\) ในขณะที่อนุกรมเทย์เลอร์สามารถมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ไหนก็ได้เพื่อปรับปรุงการลู่เข้าใกล้จุดที่กำหนด แต่ออนุกรมแมคลอรินมักเป็นที่นิยมสำหรับฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่จุดศูนย์ไม่ซับซ้อน เช่น sin(x), cos(x) และ eˣ

การลู่เข้าและรัศมีแห่งการลู่เข้า

อนุกรมกำลังทุกชุดจะมี รัศมีแห่งการลู่เข้า R สำหรับ |x| < R อนุกรมจะลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ ส่วน |x| > R อนุกรมจะลู่ ออก อนุกรมบางชุด (เช่น eˣ, sin(x), cos(x)) ลู่เข้าสำหรับทุกค่า x ที่เป็นจำนวนจริง ดังนั้น R = ∞ ส่วนอนุกรมอื่นๆ (เช่น ln(1+x), 1/(1−x), arctan(x)) จะมี R = 1 หมายความว่ามันจะลู่เข้าเฉพาะในช่วง (−1, 1) หรือ [−1, 1] เท่านั้น กราฟที่โต้ตอบได้จะแสดงขอบเขตรัศมีแห่งการลู่เข้าเป็นเส้นประสีแดง

เศษเหลือของลากรานฌ์และขอบเขตข้อผิดพลาด

เศษเหลือของลากรานฌ์ \(R_n(x)\) วัดปริมาณข้อผิดพลาดจากการตัดตอนเมื่อใช้พจน์ n+1 พจน์แรก ขอบเขตของมันคือ \(|R_n(x)| \leq \frac{M |x|^{n+1}}{(n+1)!}\) โดยที่ M คือค่าสูงสุดของ \(|f^{(n+1)}(t)|\) ในช่วง [0, x] สำหรับฟังก์ชันอย่าง eˣ และ sin(x) ซึ่งอนุพันธ์ทั้งหมดมีขอบเขตจำกัด สิ่งนี้จะให้การรับประกันความแม่นยำที่ชัดเจน การเติบโตของแฟกทอเรียลในส่วนหารหมายความว่าข้อผิดพลาดจะลดลงอย่างรวดเร็วเมื่อ n เพิ่มขึ้น

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

อนุกรมแมคลอรินคืออะไร?

อนุกรมแมคลอรินคือการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ x = 0 โดยแสดงฟังก์ชันในรูปของผลรวมอนันต์ของพจน์ต่างๆ: f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + f'''(0)x³/3! + ... แต่ละพจน์จะประกอบด้วยอนุพันธ์อันดับสูงของฟังก์ชันที่ประเมินค่า ณ จุดศูนย์ หารด้วยแฟกทอเรียลที่สอดคล้องกัน

อนุกรมแมคลอรินและอนุกรมเทย์เลอร์ต่างกันอย่างไร?

อนุกรมแมคลอรินเป็นกรณีพิเศษของอนุกรมเทย์เลอร์ที่จุดกระจายคือ a = 0 อนุกรมเทย์เลอร์สามารถมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด a ใดๆ โดยใช้สูตร f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)(x−a)ⁿ/n! เมื่อ a = 0 อนุกรมเทย์เลอร์จะกลายเป็นอนุกรมแมคลอริน อนุกรมแมคลอรินจะง่ายกว่าเพราะพจน์ (x−a)ⁿ จะลดรูปเหลือเพียง xⁿ

รัศมีแห่งการลู่เข้าคืออะไร?

รัศมีแห่งการลู่เข้า R คือระยะทางจากจุดศูนย์กลาง (x = 0 สำหรับอนุกรมแมคลอริน) ซึ่งภายในระยะนี้อนุกรมจะลู่เข้าสู่ค่าฟังก์ชันจริง สำหรับ |x| < R อนุกรมจะลู่เข้า สำหรับ |x| > R อนุกรมจะลู่ ออก อนุกรมบางชุดเช่น eˣ, sin(x) และ cos(x) ลู่เข้าสำหรับจำนวนจริงทั้งหมด (R = ∞) ในขณะที่ชุดอื่นเช่น ln(1+x) และ 1/(1−x) จะมี R = 1

เศษเหลือของลากรานฌ์ถูกใช้งานอย่างไร?

เศษเหลือของลากรานฌ์ R_n(x) ให้ขอบเขตบนของข้อผิดพลาดเมื่อประมาณค่า f(x) ด้วยพจน์ n+1 พจน์แรก สูตรคือ |R_n(x)| ≤ M × |x|^(n+1) / (n+1)! โดยที่ M คือค่าสูงสุดของ |f^(n+1)(t)| สำหรับ t ที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง x เศษเหลือที่น้อยกว่าหมายถึงการประมาณค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้น นี่เป็นสิ่งสำคัญในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเพื่อรับประกันความแม่นยำ

ทำไมอนุกรมแมคลอรินบางชุดจึงมีเพียงกำลังเลขคี่หรือเลขคู่เท่านั้น?

สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากความสมมาตรของฟังก์ชัน ฟังก์ชันคี่เช่น sin(x) และ arctan(x) เป็นไปตามเงื่อนไข f(−x) = −f(x) ดังนั้นอนุพันธ์อันดับคู่ที่จุด 0 จะเป็นศูนย์ทั้งหมด เหลือเพียงกำลังเลขคี่ ส่วนฟังก์ชันคู่เช่น cos(x) และ cosh(x) เป็นไปตามเงื่อนไข f(−x) = f(x) ดังนั้นอนุพันธ์อันดับคี่ที่จุด 0 จะเป็นศูนย์ เหลือเพียงกำลังเลขคู่ รูปแบบนี้จะเห็นได้ชัดเจนในตารางสัมประสิทธิ์

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณอนุกรมแมคลอริน" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณอนุกรมแมคลอริน/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-06

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.