Interaktywny wizualizator okręgu jednostkowego

O Interaktywny wizualizator okręgu jednostkowego

Witamy w narzędziu Interaktywny wizualizator okręgu jednostkowego, które pomoże Ci lepiej zrozumieć podstawowe zależności między kątami a funkcjami trygonometrycznymi. Ta dynamiczna wizualizacja pokazuje, w jaki sposób sin, cos, tan oraz ich funkcje odwrotne odpowiadają punktom na okręgu jednostkowym.

Czym jest okrąg jednostkowy?

Okrąg jednostkowy to okrąg o promieniu 1, którego środek znajduje się w początku układu współrzędnych (0, 0). Stanowi on podstawę trygonometrii i zapewnia geometryczną interpretację funkcji trygonometrycznych.

• Promień: Zawsze równy 1
• Środek: W punkcie (0, 0)
• Równanie: $$x^2 + y^2 = 1$$

Funkcje trygonometryczne na okręgu jednostkowym

Dla dowolnego kąta $\theta$ mierzonego od dodatniej półosi x, punkt P na okręgu jednostkowym ma współrzędne:

$$P = (\cos\theta, \sin\theta)$$

Sześć funkcji trygonometrycznych

• Sinus (sin): $$\sin\theta = y$$
• Cosinus (cos): $$\cos\theta = x$$
• Tangens (tan): $$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y}{x}$$
• Kosekans (csc): $$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$$ (niezdefiniowany, gdy $\sin\theta = 0$)
• Sekans (sec): $$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$$ (niezdefiniowany, gdy $\cos\theta = 0$)
• Kotangens (cot): $$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}$$

Kluczowe kąty i ich wartości

Na okręgu jednostkowym wyróżnia się kilka ważnych kątów, które warto zapamiętać. Takie "kąty specjalne" występują przy wielokrotnościach 30° i 45°:

Stopnie	Radiany	sin	cos	tan
0	0	0	1	0
30	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90	$\frac{\pi}{2}$	1	0	Niezdefiniowany
180	$\pi$	0	-1	0
270	$\frac{3\pi}{2}$	-1	0	Niezdefiniowany

Cztery ćwiartki

Układ współrzędnych jest podzielony na cztery ćwiartki, a znaki funkcji trygonometrycznych różnią się w każdej z nich:

• I ćwiartka (0–90°): Wszystkie funkcje są dodatnie (A)
• II ćwiartka (90–180°): Dodatnie są tylko sin i csc (S)
• III ćwiartka (180–270°): Dodatnie są tylko tan i cot (T)
• IV ćwiartka (270–360°): Dodatnie są tylko cos i sec (C)

Angielskie hasło pomocnicze: ASTC – "All Students Take Calculus".

Jak korzystać z tego narzędzia

1. Wprowadź wartość kąta w polu wejściowym.
2. Wybierz, czy kąt jest podany w stopniach, czy w radianach.
3. Kliknij „Oblicz”, aby zobaczyć wizualizację i wszystkie wartości funkcji trygonometrycznych.
4. Skorzystaj z szybkich odnośników do najczęściej używanych kątów.

Zrozumienie wizualizacji

Interaktywny diagram przedstawia:

• Niebieskie koło: Okrąg jednostkowy o promieniu 1
• Czerwony punkt: Punkt na okręgu odpowiadający wybranemu kątowi
• Zielona linia: Reprezentuje cos (odległość pozioma od początku układu)
• Niebieska linia: Reprezentuje sin (odległość pionowa od początku układu)
• Pomarańczowy łuk: Łuk kąta od dodatniej półosi x
• Fioletowa linia przerywana: Reprezentuje styczną (tangentę)

Zastosowania okręgu jednostkowego

• Fizyka: Ruch falowy, drgania, ruch po okręgu
• Inżynieria: Przetwarzanie sygnałów, obwody prądu przemiennego, mechanika obrotowa
• Grafika komputerowa: Rotacje, animacje, tworzenie gier
• Nawigacja: Obliczenia GPS, geodezja
• Muzyka: Analiza fal dźwiękowych, synteza audio

Dodatkowe źródła

• Okrąg trygonometryczny – Wikipedia
• Unit Circle – Wolfram MathWorld
• Funkcje trygonometryczne – Wikipedia