極方程式プロッター

極方程式プロッターは、\( r = f(\theta) \) の形式の任意の数式をブラウザで直接グラフ化します。これを使用して、古典的なバラ曲線 \( r = \sin(3\theta) \)、ハート型のカージオイド \( r = 1 + \cos\theta \)、アルキメデスやフェルマーの渦巻線、内側ループを持つリマソン、レムニスケート、さらには有名なバタフライ曲線を描画できます。sin, cos, tan, exp, log, sqrt の完全なサポートと定数 \( \pi \) および \( e \) を使用して独自の数式を入力するか、9つのプリセットのいずれかをクリックしてすぐにプロットできます。同じキャンバス上に最大3つの数式を重ね合わせ、入力に合わせて変化するライブプレビューを確認し、チャートを鮮明なSVGまたはPNGとしてエクスポートできます。

極座標の仕組み

有名な極曲線のギャラリー

この極方程式プロッターの特徴

数式構文 — クイックリファレンス

バラ曲線の花びらの数を数える

整数 \( k \) を持つバラ曲線 \( r = \sin(k\theta) \) （または \( r = \cos(k\theta) \））の場合、花びらの数は美しい規則に従います：

• \( k \) が奇数の場合: バラ曲線の花びらはちょうど \( k \) 枚になります。
• \( k \) が偶数の場合: バラ曲線の花びらは \( 2k \) 枚になります。

したがって、\( \sin(3\theta) \) は3枚、\( \sin(4\theta) \) は8枚、\( \sin(7\theta) \) は7枚になります。その理由は巧妙です。k が奇数の場合、負の r に対して描かれる花びら（原点を通って反転する）は、正の r の花びらとまったく同じ位置に重なります。k が偶数の場合、負の r の花びらが正の r の花びらの隙間を埋めるため、枚数が2倍になります。\( \sin(2\theta) \)（4枚の花びら）と \( \sin(3\theta) \)（3枚の花びら）を比較して、対称性の違いをライブで確認してみてください。

カージオイドからリマソンへ: 1パラメータのファミリー

一般式 \( r = a + b\cos\theta \) は、比率 \( b/a \) によって制御される曲線ファミリーを描きます：

• \( b/a = 0 \): 半径 \( a \) の円 — 非対称性はありません。
• \( 0 < b/a < 1 \): 窪みのあるリマソン — 少し押しつぶされた楕円。
• \( b/a = 1 \): カージオイド（心臓形） — 単一の尖点を持つ完璧なハート型。
• \( 1 < b/a < 2 \): より深い窪みを持つリマソン。
• \( b/a \geq 2 \): 内側ループを持つリマソン — 曲線が自身と交差します。

3つの重ね合わせスロットに b = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0 を指定して \( r = 1 + b\cos\theta \) をプロットし、ハート型がループのあるカタツムリ（リマソン）へと変化していく様子を観察してください。

現実世界での用途

• 数学の授業: アニメーション描画表示とライブプレビューにより、極方程式を直感的に理解できます。学生は回転する半径がどのように曲線をなぞるかを目で見て学ぶことができます。
• 物理の実験室: アンテナの放射パターン、植物の葉序、惑星の軌道、振り子の軌跡はすべて極座標で表現されます。
• エンジニアリング: カムのプロファイル、ギヤの歯形、梁の応力分布は極座標形式で設計されます。レーザーカットやCNC用にSVGをエクスポートできます。
• デザインと装飾: バラ曲線、レムニスケート、バタフライ曲線は、素晴らしいロゴ、マンダラ、反復パターンの作成に役立ちます。さらに編集するためにベクター形式にエクスポートできます。
• ジェネレーティブアート: ネオンパレットで異なる k 値を持つ3つのバラ曲線を重ね合わせることで、瞬時に幾何学的なポスターを作成できます。
• 天文学: 極座標形式の円錐曲線（楕円/放物線/双曲線の \( r = p / (1 - e\cos\theta) \)）は惑星の軌道を記述します。離心率（eccentricity）の値を0.1から0.9まで変えて試してみてください。

美しいプロットを作成するためのヒント

• 適切な θ 範囲を選択する。 バラ曲線やカージオイドは0から2πで閉じます。内側ループを持つリマソンは0から4πが必要な場合があります。アルキメデスの渦巻線は0から8π以上が最適です。ドロップダウンを使用すれば、πの倍数を自動的に処理してくれます。
• 「ビフォー・アフター」の対比に重ね合わせを使用する。 \( \sin(2\theta) \) と \( \sin(3\theta) \) を同時にプロットして、花びらの偶数対奇数の規則を確認します。\( 1 + \cos\theta \) と \( 1 + 1.5\cos\theta \) をプロットして、カージオイドが窪みのあるリマソンに変化する様子を確認します。
• 渦巻線では解像度を上げる。 デフォルトの「中」（1,800サンプル）はバラ曲線には十分です。長いアルキメデスやバタフライ曲線の場合は「高」または「ウルトラ」に切り替えてください。追加のサンプルにより、渦巻の端にある微細なディテールが明らかになります。
• レムニスケートは両方の分岐が必要。 方程式 \( r^2 = 4\cos 2\theta \) には2つの平方根があるため、数式1に \( \sqrt{4\cos(2\theta)} \)、数式2に \( -\sqrt{4\cos(2\theta)} \) をプロットして、両方の葉（ローブ）を取得します。
• ポートフォリオアート用にグリッドを非表示にする。 グリッドを「なし」に切り替え、グラファイト背景にネオンパレットを使用すると、ジェネレーティブアートのプリントのような仕上がりになります。

よくある質問