台形公式電卓

台形公式で定積分を近似計算します。インタラクティブな台形の可視化、誤差推定、リチャードソン補外、収束解析、台形ごとの面積内訳付きです。関数の入力にもデータ点の入力にも対応します。

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台形公式電卓

台形公式電卓は、曲線下の面積を台形に分割することで定積分を近似する特殊な数値積分ツールです。平らな長方形を使用する単純なリーマン和とは異なり、台形公式は隣接する関数値を直線で結び、曲線の傾きを捉えることで大幅に正確な結果を生成します。この電卓は関数入力と生データ点モードの両方をサポートしており、微積分を学ぶ学生と実験データを扱うエンジニアの両方に最適です。

主な機能

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インタラクティブな視覚化

曲線の下に描かれた各台形を確認できます。マウスを置くと個々の台形がハイライトされ、その面積が表示されます。スライダーやアニメーションを使用して、分割数を増やすことで精度がどのように向上するかを観察できます。

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デュアル入力モード

積分範囲と小区間を指定して関数 f(x) を入力するか、不等間隔の生データ点を貼り付けることができます。理論的な微積分と実験的なデータ分析の両方に最適です。

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誤差推定

公式 $ |E_T| \leq \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max|f''(x)| $ を使用した自動誤差範囲計算。nを増やす前に、近似がどの程度正確であるかを正確に把握できます。

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リチャードソン外挿

T(n) と T(2n) を組み合わせて主要な誤差項を打ち消し、O(h⁴) の精度を達成します。公式 R = (4T(2n) − T(n))/3 はシンプソンの公式と等価です。

台形公式電卓の使い方

入力モードを選択する — 数式と積分範囲を入力する場合は「関数 f(x)」を選択し、実験や表から得られたx値とy値を直接入力する場合は「データ点」を選択します。
値を入力する — 関数モードの場合：f(x)を入力し、下限 (a) と上限 (b) を設定し、小区間数 (n) を選択します。データモードの場合：カンマ区切りのx値とy値を入力します。
計算をクリックする — ツールが台形近似を計算し、MathJaxによる詳細なステップバイステップの解決策を表示します。
結果を確認する — 台形の視覚化を操作（ホバーして個別の面積を確認）し、誤差範囲、リチャードソン外挿、収束分析表を確認します。

台形公式の解説

複合台形公式は [a, b] を n 個の等しい小区間に分割し、積分を次のように近似します。

$$T_n = \frac{\Delta x}{2} \left[ f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

ここで $ \Delta x = \frac{b - a}{n} $ および $ x_i = a + i \cdot \Delta x $ です。各小区間は、面積が $ \frac{\Delta x}{2}[f(x_i) + f(x_{i+1})] $ である台形として寄与します。

誤差分析

特性	値	重要性
誤差の次数	$ O(h^2) $	nを2倍にすると誤差が約4分の1になる
誤差範囲	$ \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| $	fの曲率に依存する
厳密解が得られる関数	線形関数	f''(x) = 0 なので誤差範囲 = 0
リチャードソン	外挿後 $ O(h^4) $	シンプソンの公式の精度に相当

台形公式を使用すべき時

不等間隔のデータ — シンプソンの公式とは異なり、台形公式は不均一な点の間隔でも自然に機能するため、実験データに理想的です。
奇数の小区間数 — シンプソンの公式は n が偶数である必要がありますが、台形公式は n ≥ 1 であればどのような値でも機能します。
迅速な推定 — 公式はシンプソンの公式よりも手計算が簡単で、誤差もよく理解されています。
エンジニアリングと物理学 — 離散的なセンサーデータ、速度プロファイル、荷重-変位曲線、熱力学サイクルの積分によく使用されます。
微積分教育 — 基本的なリーマン和と、シンプソンの公式のようなより高度な手法との橋渡しをします。

サポートされている関数

この電卓は、幅広い数学関数をサポートしています。

多項式: x^2, x^3 + 2x - 1
三角関数: sin(x), cos(x), tan(x)
指数・対数関数: exp(x), ln(x), log(x)
根号: sqrt(x)
定数: pi, e
組み合わせ: sin(x)*exp(-x), x^2/(1+x^2)

よくある質問

台形公式とは何ですか？

台形公式は、曲線下の面積を長方形ではなく台形に分割して近似する数値積分法です。各台形は、小区間の端点における関数値を直線で結ぶため、単純な左または右リーマン和よりも優れた近似が得られます。

台形公式の精度はどのくらいですか？

複合台形公式の誤差はオーダー O(h²) であり、h は小区間の幅です。誤差の範囲は (b−a)³/(12n²) × max|f''(x)| です。n を 2 倍にすると、誤差は約 4 分の 1 に減少します。線形関数の場合、台形公式は正確な結果を与えます。

リチャードソン外挿とは何ですか？

リチャードソン外挿は、2 つの台形推定値 T(n) と T(2n) を組み合わせて、主要な誤差項を打ち消す手法です。公式 R = (4×T(2n) − T(n))/3 はシンプソンの公式と等価な結果を生み出し、O(h²) の推定値から O(h⁴) の精度を達成します。

不等間隔のデータに台形公式を使用できますか？

はい。等間隔を必要とする多くの数値手法とは異なり、台形公式は不等間隔のデータ点にも自然に適用できます。隣接する各点ペアに対して、実際の感覚を使用して公式を適用するだけです。この電卓は、均一な関数入力と不均一なデータ点入力の両方をサポートしています。

シンプソンの公式ではなく台形公式を使用すべきなのはいつですか？

データ点の間隔が不均一な場合、小区間の数が奇数の場合、単純で堅牢な方法が必要な場合、または関数が高階導関数で不連続性を持つ場合に台形公式を使用します。シンプソンの公式は、n が偶数で滑らかな関数に対してより正確ですが、台形公式の方が汎用性が高いです。

このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合：

"台形公式電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/台形公式計算機/）、MiniWebtool、https://MiniWebtool.com/

by MiniWebtool チーム. 更新日: 2026-04-05

また、AI 数学ソルバー GPT を使って、自然言語による質問と回答で数学の問題を解決することもできます。

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台形公式の解説

誤差分析

台形公式を使用すべき時

サポートされている関数

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特性	値	重要性
誤差の次数	\( O(h^2) \)	nを2倍にすると誤差が約4分の1になる
誤差範囲	\( \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| \)	fの曲率に依存する
厳密解が得られる関数	線形関数	f''(x) = 0 なので誤差範囲 = 0
リチャードソン	外挿後 \( O(h^4) \)	シンプソンの公式の精度に相当