Calculateur de décomposition LU de matrice

Bienvenue sur le calculateur de décomposition LU de matrice, un outil d'algèbre linéaire complet qui factorise n'importe quelle matrice carrée en le produit d'une matrice triangulaire inférieure (L) et d'une matrice triangulaire supérieure (U) à l'aide de l'élimination de Gauss avec pivotement partiel. Obtenez une élimination détaillée étape par étape, une animation de décomposition interactive et une vérification automatique. Idéal pour les étudiants, les ingénieurs et toute personne travaillant avec des systèmes d'équations linéaires.

Qu'est-ce que la décomposition LU ?

La décomposition LU (également appelée factorisation LU) exprime une matrice carrée \(A\) comme le produit de deux matrices triangulaires :

Où :

• L (Triangulaire inférieure) : possède des 1 sur la diagonale et des entrées non nulles uniquement sous la diagonale. Ces entrées sont les multiplicateurs utilisés lors de l'élimination de Gauss.
• U (Triangulaire supérieure) : possède des entrées non nulles uniquement sur et au-dessus de la diagonale. C'est la forme échelonnée par lignes de la matrice.

Lorsque le pivotement partiel est utilisé (pour éviter les pivots nuls et améliorer la stabilité numérique), la factorisation devient :

Où \(P\) est une matrice de permutation qui enregistre les permutations de lignes effectuées lors de l'élimination.

Comment utiliser ce calculateur

1. Saisissez votre matrice : Entrez une matrice carrée avec des lignes sur des lignes séparées ou séparées par des points-virgules. Les éléments peuvent être séparés par des espaces, des virgules ou des tabulations. Prend en charge jusqu'à 8×8.
2. Réglez la précision décimale : Choisissez le nombre de décimales (2-10) à afficher dans les résultats.
3. Cliquez sur Décomposer : Le calculateur effectue la factorisation LU avec pivotement partiel et affiche les résultats.
4. Examinez les résultats : Examinez les matrices L, U et P, la décomposition animée et les détails de l'élimination étape par étape.

Résolution de systèmes linéaires avec la décomposition LU

La décomposition LU est particulièrement puissante pour résoudre des systèmes d'équations linéaires \(Ax = b\). Une fois que vous avez \(PA = LU\), la résolution devient un processus en deux étapes :

Étape 1 : Substitution directe

Résoudre \(Ly = Pb\) pour \(y\). Comme \(L\) est triangulaire inférieure, c'est simple — commencez par l'équation du haut et descendez :

Étape 2 : Substitution inverse

Résoudre \(Ux = y\) pour \(x\). Comme \(U\) est triangulaire supérieure, commencez par l'équation du bas et remontez :

Calcul du déterminant

Le déterminant de \(A\) peut être calculé efficacement à partir des facteurs LU :

Où \(s\) est le nombre de permutations de lignes (pivots) et \(U_{ii}\) sont les entrées diagonales de \(U\). Comme \(\det(L) = 1\) (toutes les entrées diagonales valent 1) et \(\det(P) = (-1)^s\), la formule découle de \(\det(P)\det(A) = \det(L)\det(U)\).

Pourquoi le pivotement partiel ?

Sans pivotement, la décomposition LU échoue si un élément pivot est nul. Même lorsque les pivots sont non nuls mais petits, le résultat calculé peut souffrir d'erreurs numériques graves. Le pivotement partiel sélectionne le plus grand pivot disponible dans chaque colonne, ce qui :

• Empêche la division par zéro
• Minimise la croissance des erreurs d'arrondi
• Garantit que les multiplicateurs dans L satisfont \(|L_{ij}| \leq 1\)
• Assure que toute matrice non singulière peut être décomposée

Applications de la décomposition LU

LU vs autres décompositions

• LU vs QR : LU est plus rapide (\(O(\frac{2}{3}n^3)\) vs \(O(\frac{4}{3}n^3)\)) mais moins stable numériquement. QR est préférable pour les problèmes de moindres carrés.
• LU vs Cholesky : Cholesky (\(A = LL^T\)) ne fonctionne que pour les matrices symétriques définies positives mais est deux fois plus rapide et plus stable que la décomposition LU générale.
• LU vs élimination de Gauss : LU est l'élimination de Gauss, mais la forme factorisée L et U peut être réutilisée pour résoudre efficacement plusieurs membres de droite.

Foire aux questions

Qu'est-ce que la décomposition LU ?

La décomposition LU (également appelée factorisation LU) est une méthode qui factorise une matrice carrée A en le produit d'une matrice triangulaire inférieure L et d'une matrice triangulaire supérieure U, de sorte que A = LU (ou PA = LU avec pivotement partiel). La matrice L possède des 1 sur la diagonale et stocke les multiplicateurs d'élimination, tandis que U est le résultat de l'élimination de Gauss.

Pourquoi le pivotement partiel est-il nécessaire dans la décomposition LU ?

Le pivotement partiel permute les lignes pour placer la valeur absolue la plus grande à la position du pivot. Cela évite la division par zéro lorsqu'un élément pivot est nul, et réduit les erreurs numériques causées par la division par de petits nombres. Avec le pivotement partiel, la factorisation devient PA = LU, où P est une matrice de permutation enregistrant les permutations de lignes.

Quelles sont les applications de la décomposition LU ?

La décomposition LU est utilisée pour résoudre efficacement des systèmes d'équations linéaires (Ax = b), calculer des déterminants de matrices, trouver des matrices inverses et analyser la stabilité numérique. Elle est particulièrement efficace lors de la résolution de plusieurs systèmes avec la même matrice de coefficients mais différents membres de droite, car la factorisation ne doit être effectuée qu'une seule fois.

Comment résoudre Ax = b en utilisant la décomposition LU ?

Après avoir calculé PA = LU, la résolution de Ax = b se fait en deux temps : d'abord résoudre Ly = Pb à l'aide de la substitution directe (facile car L est triangulaire inférieure), puis résoudre Ux = y à l'aide de la substitution inverse (facile car U est triangulaire supérieure). Ce processus en deux étapes est beaucoup plus rapide que l'élimination de Gauss lors de la résolution de systèmes multiples.

Toute matrice carrée peut-elle être décomposée en LU ?

Toutes les matrices carrées n'ont pas de décomposition LU sans pivotement. Une matrice possède une factorisation LU si et seulement si tous ses mineurs principaux dominants sont non nuls. Cependant, avec le pivotement partiel (PA = LU), toute matrice carrée non singulière peut être décomposée. Les matrices singulières peuvent échouer si un pivot nul est rencontré.

Ressources additionnelles

• Décomposition LU - Wikipédia
• Matrice triangulaire - Wikipédia
• Élimination de Gauss - Wikipédia