Was sind trigonometrische Identitäten?

Trigonometrische Identitäten sind Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen, die für alle Werte der Variablen wahr sind. Die grundlegendste ist die pythagoreische Identität: sin2(x) + cos2(x) = 1. Andere wichtige Identitäten sind Doppelwinkelformeln, Halbwinkelformeln, Additions- und Subtraktionstheoreme sowie Kehrwertidentitäten.

Wie finde ich alle Trig-Werte aus einem bekannten Wert?

Um alle sechs trigonometrischen Werte aus einem bekannten Wert zu finden: 1) Verwenden Sie die pythagoreische Identität sin2(x) + cos2(x) = 1, um sin oder cos zu finden. 2) Bestimmen Sie das richtige Vorzeichen basierend auf dem Quadranten mithilfe der ASTC-Regel. 3) Berechnen Sie tan = sin/cos, csc = 1/sin, sec = 1/cos und cot = 1/tan.

Was ist die ASTC-Regel für Quadranten?

ASTC steht für All-Sin-Tan-Cos, eine Eselsbrücke, um sich zu merken, welche Trig-Funktionen in jedem Quadranten positiv sind. In Quadrant I sind alle Funktionen positiv. In Quadrant II ist nur Sinus (und csc) positiv. In Quadrant III ist nur Tangens (und cot) positiv. In Quadrant IV ist nur Kosinus (und sec) positiv.

Was sind Doppelwinkelformeln?

Doppelwinkelformeln drücken trigonometrische Funktionen von 2x durch Funktionen von x aus. Die Hauptformeln sind: sin(2x) = 2sin(x)cos(x), cos(2x) = cos2(x) - sin2(x) = 2cos2(x) - 1 = 1 - 2sin2(x), und tan(2x) = 2tan(x)/(1 - tan2(x)).

Was sind Halbwinkelformeln?

Halbwinkelformeln drücken trigonometrische Funktionen von x/2 durch cos(x) aus. Die Formeln sind: sin(x/2) = plus oder minus sqrt((1-cos(x))/2), cos(x/2) = plus oder minus sqrt((1+cos(x))/2), und tan(x/2) = sin(x)/(1+cos(x)) = (1-cos(x))/sin(x). Das Vorzeichen hängt davon ab, in welchen Quadranten x/2 fällt.

Trigonometrische Identitäten Rechner

Berechnen Sie alle trigonometrischen Funktionswerte mithilfe von pythagoreischen, Doppelwinkel- und Halbwinkelidentitäten. Geben Sie einen bekannten Trig-Wert und den Quadranten ein, um sin, cos, tan, csc, sec, cot mit Schritt-für-Schritt-Lösungen zu finden.

Schnellbeispiele

30° sin=0.5, Q1 45° cos, Q1 60° sin, Q1 225° tan=1, Q3 120° cos, Q2 330° sin, Q4

Bekannte Funktion

Bekannter Wert

Quadrant

Q2Sin+

Q1Alle+

Q3Tan+

Q4Cos+

Identitätstyp

Präzision

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Trigonometrische Identitäten Rechner

Willkommen beim Trigonometrische Identitäten Rechner, einem umfassenden Werkzeug zur Berechnung aller trigonometrischen Funktionswerte mithilfe grundlegender Identitäten. Wenn Sie einen trigonometrischen Wert (wie $\sin(x)$ oder $\cos(x)$) und den Quadranten kennen, findet dieser Rechner alle anderen Werte und wendet verschiedene Identitätsformeln mit vollständigen Schritt-für-Schritt-Lösungen an.

Was dieser Rechner tut

Gegeben ein bekannter trigonometrischer Funktionswert und der Quadrant, in dem der Winkel liegt, führt dieser Rechner folgende Schritte aus:

Berechnet alle sechs grundlegenden Trig-Funktionen: $\sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$, $\csc(x)$, $\sec(x)$, $\cot(x)$
Wendet Doppelwinkelformeln an: Findet $\sin(2x)$, $\cos(2x)$ und $\tan(2x)$
Wendet Halbwinkelformeln an: Findet $\sin(x/2)$, $\cos(x/2)$ und $\tan(x/2)$
Bestimmt den exakten Winkel: Sowohl in Grad als auch in Radiant
Verifiziert Identitäten: Bestätigt die pythagoreische Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$

Wichtige trigonometrische Identitäten

Pythagoreische Identitäten

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$
$$1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)$$
$$1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)$$

Doppelwinkelformeln

$$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$
$$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$$
$$\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$$

Halbwinkelformeln

$$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}$$
$$\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}}$$
$$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}$$

Quadranten verstehen (ASTC-Regel)

Das Vorzeichen jeder trigonometrischen Funktion hängt davon ab, in welchem Quadranten der Winkel liegt. Merken Sie sich die Eselsbrücke "All Students Take Calculus" (ASTC):

Quadrant I (0° bis 90°): Alle Funktionen sind positiv
Quadrant II (90° bis 180°): Nur Sinus (und csc) ist positiv
Quadrant III (180° bis 270°): Nur Tangens (und cot) ist positiv
Quadrant IV (270° bis 360°): Nur Cosinus (und sec) ist positiv

Kehrwert-Identitäten

$\\csc(x) = \frac{1}{\\sin(x)}$
$\\sec(x) = \frac{1}{\\cos(x)}$
$\\cot(x) = \frac{1}{\\tan(x)} = \frac{\\cos(x)}{\\sin(x)}$

So benutzen Sie diesen Rechner

Wählen Sie die bekannte Funktion: Wählen Sie, welchen trigonometrischen Funktionswert Sie kennen (sin, cos, tan, csc, sec oder cot).
Geben Sie den bekannten Wert ein: Geben Sie den numerischen Wert ein. Für sin und cos muss dieser zwischen -1 und 1 liegen. Für csc und sec muss der Absolutwert mindestens 1 sein.
Wählen Sie den Quadranten: Wählen Sie aus, in welchem Quadranten der Winkel x liegt. Dies bestimmt die Vorzeichen anderer Funktionen mithilfe der ASTC-Regel.
Identitätstyp wählen: Wählen Sie aus, welche Identitäten angewendet werden sollen (nur pythagoreische, Doppelwinkel, Halbwinkel oder alle).
Präzision festlegen: Wählen Sie, wie viele Dezimalstellen Sie möchten (1-100).
Klicken Sie auf Berechnen: Sehen Sie die vollständigen Ergebnisse mit Schritt-für-Schritt-Lösungen und visueller Darstellung.

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"Trigonometrische Identitäten Rechner" unter https://MiniWebtool.com/de/trigonometrische-identitäten-rechner/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

vom miniwebtool-Team. Aktualisiert: 13. Jan. 2026

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