雅可比矩陣計算機

雅可比矩陣計算機

雅可比矩陣計算機可計算任何向量值多變數函數的雅可比矩陣。輸入轉換分量如 \(F(x,y) = (x^2 + y,\; xy)\)，指定變數，並可選擇在特定點進行評估。該工具會返回完整的符號雅可比矩陣、行列式、特徵值、MathJax 逐步解法，對於 2×2 的情況，還提供互動式網格變形視覺化，展示線性變換如何拉伸、旋轉和剪切空間。

什麼是雅可比矩陣？

向量值函數 \(\mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 的 雅可比矩陣 是由所有一階偏導數組成的 \(m \times n\) 矩陣：

$$J = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$

雅可比矩陣代表了函數在給定點附近的 最佳線性逼近。它將導數的概念推廣到多個變數的向量值函數。

核心概念

雅可比行列式

當雅可比矩陣為方陣（\(m = n\)）時，其行列式具有深刻的幾何意義：

常見坐標轉換

雅可比矩陣的應用

如何使用雅可比矩陣計算機

1. 輸入函數分量： 輸入向量值函數的每個分量，並以分號分隔。例如，輸入 x^2 + y; x*y 代表 \(\mathbf{F}(x,y) = (x^2+y, xy)\)。使用 ^ 表示指數，* 表示乘法，以及 sin、cos、exp、ln、sqrt 等標準函數。
2. 指定變數： 輸入以逗號分隔的變數名稱（例如 x, y 或 r, t）。變數的數量決定了雅可比矩陣的列數。
3. 輸入評估點（選填）： 提供坐標值以進行雅可比矩陣的數值評估。您可以使用 pi 和 e 等常數。
4. 點擊計算雅可比矩陣： 查看符號雅可比矩陣、所有偏導數、行列式（適用於方陣）、特徵值以及逐步解法。
5. 探索視覺化圖表： 對於 2×2 雅可比矩陣，可以查看互動式網格變形，顯示矩陣如何變換原始網格、單位圓和基向量。可在網格、圓形和兩者視圖之間切換。

計算實例：極坐標

求極坐標到直角坐標轉換 \(F(r, \theta) = (r\cos\theta,\; r\sin\theta)\) 的雅可比矩陣：

第一步： 計算偏導數： \(\frac{\partial F_1}{\partial r} = \cos\theta\), \(\frac{\partial F_1}{\partial \theta} = -r\sin\theta\), \(\frac{\partial F_2}{\partial r} = \sin\theta\), \(\frac{\partial F_2}{\partial \theta} = r\cos\theta\)。

第二步： 組合成矩陣：\(J = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}\)

第三步： 計算行列式：\(\det(J) = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r\)。 這就是為什麼極坐標中的面積元素是 \(r\,dr\,d\theta\)。

與其他概念的關係

雅可比矩陣與數學中的許多基本概念都有聯繫：

• 梯度 (Gradient)： 對於純量函數 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)，其雅可比矩陣是一個 \(1 \times n\) 的列向量 — 即梯度 \(\nabla f\) 的轉置。
• 黑塞矩陣 (Hessian)： 黑塞矩陣是梯度向量的雅可比矩陣：\(H(f) = J(\nabla f)\)。
• 散度和旋度 (Divergence and Curl)： 散度是雅可比矩陣的跡 (trace)；旋度涉及非對角線的抗對稱分量。
• 連鎖律 (Chain Rule)： 對於複合函數，\(J(\mathbf{G} \circ \mathbf{F}) = J(\mathbf{G}) \cdot J(\mathbf{F})\) — 連鎖律變成了雅可比矩陣的乘法。

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